פרק א: קינמטיקה - תנועה לאורך קו ישר

Transkript

1 פרק א: קינמטיקה - תנועה לאורך קו ישר 1. הערות דידקטיות לפרק 1.1 השיעור הראשון במכניקה כאשר מתחילים ללמד מכניקה על פי המתווה של הספר, מומלץ לדלג על עמודים 15-11, ולהתחיל ללמד את המכניקה הניוטונית החל מסעיף 3 )עמוד 16( שבספר - פונקציית מקום-זמן. את סעיף -.4 מערכת יחידות S.I. המופיע בעמוד 15 בחומר שהומלץ לדלג עליו בשיעור הראשון, מומלץ ללמד תוך כדי הוראת סעיף 4.1 ג. הוראת מערכת יחידות S.I. יכולה להצטמצם, בשלב זה, להסבר המושג "מערכת יחידות,"S.I. ולדיון קצר ביחידות S.I. של הזמן ושל האורך. 1. תנועה קצובה ותנועה שוות-מהירות שני המושגים "תנועה קצובה" ו"תנועה שוות-מהירות" מופיעים בסעיף 1.4 )עמוד (. כפי שהערנו בספר לתלמיד בעמוד 5, מיד לאחר הגדרת המושג "תנועה שוות-מהירות", בתנועה לאורך קו ישר כל תנועה קצובה היא שוות מהירות ולהיפך. זה מעורר שני קשיים אצל התלמידים: א. השימוש בשני מושגים, שבשלב זה לא רואים הבדל ביניהם, מקשה על חלק מהתלמידים. ב. תלמידים, ובעיקר המעמיקים מביניהם, מגיעים למסקנה השגויה שתיתכן תנועה קצובה שאינה שוות מהירות. הם אומרים: "גוף יכול לנוע במהירות שגודלה לדוגמה 1 מטר\שנייה ימינה, להיעצר, ומיד לנוע במהירות שגודלה 1 מטר\שנייה שמאלה. תנועה כזו היא קצובה, אך אינה שוות מהירות". תלמידים אלה אינם לוקחים בחשבון כי בלימה ממהירות שגודלה 1 מטר\ שנייה למהירות אפס, חייבת להיעשות בהדרגה, כאשר גודל המהירות קטן מ- 1 m/s ל- 9, m/s ל- 8 m/s וכך הלאה עד למהירות אפס. 1.3 קשיי תלמידים והצעות לטיפול בקשיים א. תפיסה חלופית - המונח "מהירות" - בלבול בין משמעות המונח בשפה המדעית לבין משמעותו בשפה היום-יומית המונח "מהירות" שבו משתמשים בחיי היום-יום מוגדר כיחס בין דרך שגוף עובר בפרק זמן מסוים לבין פרק זמן זה. מהגדרה זו נובע כי מהירותו של גוף, בשפת חיי היום-יום, היא תמיד חיובית )כי הן "דרך" והן "פרק זמן" הם גדלים חיוביים(. לעומת זאת, המונח "מהירות" שבו משתמשים במכניקה, לדוגמה בתנועה שוות-מהירות, מוגדר כיחס בין העתק של גוף בפרק זמן מסוים לבין פרק זמן זה. על פי הגדרה זו מהירותו של גוף, יכולה להיות חיובית או שלילית )פרק זמן הוא תמיד גודל חיובי, אך העתק עשוי להיות חיובי או שלילי(. מכאן שהמונח "מהירות" שבו משתמשים בלימודי המכניקה אינו זהה למונח "מהירות" 13

2 השגור על לשונם של התלמידים בחיי היום יום. תלמידים שלא הוצגה בפניהם בעיה זו במפורש, חשים נבוכים לנוכח העובדה ש"בפיזיקה מהירות יכולה להיות שלילית". נעשה סדר במערך המונחים: המונח מהירות במכניקה )ובאנגלית - )velocity מורכב, כידוע, מגודל- הערך של המהירות שאותו כינינו בספר לתלמיד בשם "גודל המהירות" )ובאנגלית -,)speed ומסימן אלגברי - הנקבע על פי כיוון התנועה של הגוף ביחס לציר מקום שנבחר. המונח המקביל למונח היום-יומי "מהירות" הוא בשפה המדעית גודל מהירות )speed( ולא מהירות.)velocity( נסכם זאת בטבלה: מונחים בשפה יום-יומית עברית מהירות מונחים מקבילים שפה מדעית אנגלית עברית velocity מהירות speed גודל מהירות הסיבה לבלבול היא שהמונח "מהירות" בשפה היום-יומית מקביל למונח "גודל מהירות" בשפה המדעית, ולא למונח "מהירות" בשפה המדעית. למונח "מהירות" בשפה המדעית אין מילה מקבילה בשפה היום-יומית. ראוי לציין כי בשפה האנגלית הבלבול אינו קיים: באנגלית משתמשים במונח speed בשפה היום-יומית עבור הדרך שהגוף עובר ביחידת זמן, והיא זהה למונח speed בשפה המדעית. בשפה המדעית יש מונח נוסף -,velocity שאין לו מונח מקביל בשפה היום-יומית. ב. תפיסה חלופית - המונח "תאוצה" - בלבול בין משמעות המונח בשפה המדעית לבין משמעותו בשפה היום-יומית גם לגבי המונח "תאוצה" יש פער בין השפה המדעית לבין השפה היום-יומית. בשפה המדעית תאוצה היא קצב שינוי המהירות )ה-.)velocity גם כאשר המהירות קטנה וגם כאשר היא גד לה משתמשים באותה הגדרה של התאוצה. לעומת זאת בשפה היום-יומית משתמשים בשני מונחים: המונח "תאוצה" בשפה היום- יומית מתייחס למצבים שבהם גודל המהירות גדל, והתאוצה מבטאת את קצב גידול גודל המהירות, והמונח "תאוטה" מתייחס למצבים שבהם גודל המהירות קטן. לדוגמה, כאשר גוף נזרק כלפי מעלה, אז בשפה היום-יומית יש לגוף תאוטה כאשר הוא עולה, ויש לו תאוצה כאשר הוא יורד. אבל בשפה מדעית יש לתאוצת הגוף ערך אחד המתאים לעלייה ולירידה. אם ציר ה- y מצביע כלפי מעלה, אז התאוצה של הגוף הנופל חופשית היא ( 1 ( m/s בין אם הגוף עולה ובין אם הוא יורד. אם הגוף נזרק כלפי מעלה לדוגמה במהירות של 3 m/s )זה ה- velocity ולא ה- )speed אז המשמעות של ערך התאוצה היא שהמהירות קטנה בכל שנייה ב- 1 m/s בעלייה כמו בירידה. ברגע המהירות היא 3, m/s כעבור שנייה אחת 14

3 , m/s כעבור שתי שניות 1, m/s כעבור 3 שניות, כעבור 4 שניות המהירות ממשיכה לרדת וערכה מגיע ל- m/s( 1 (, כעבור 5 שניות m/s) ) וכך הלאה. נציג חלק משאלת בגרות במכניקה )5 יחידות לימוד( שניתנה בשנת 1994 )שאלה מספר 1(: חלק השאלה הרלוונטי לדיון שלנו: אבן נזרקת כלפי מעלה במהירות התחלתית של 4. m/s הנח כי האבן נזרקת מגובה הקרקע. ציר מקום, y, מוגדר כך שכיוונו החיובי כלפי מעלה, וראשיתו בנקודה )על הקרקע( שממנה נזרקה האבן. t מוגדר כרגע זריקת האבן. סרטט גרף המתאר את תאוצת האבן כפונקציה של הזמן, מרגע t עד לרגע פגיעתה בקרקע. התשובה הנכונה מוצגת באיור 1. אולם, רק כ- 8% מהנבחנים שבחרו בשאלה סרטטו גרף כזה. כ- 63% מבין הנבחנים שבחרו בשאלה סרטטו גרף שגוי, כדוגמת זה המופיע באיור! )9% מהנבחנים סרטטו גרפים שגויים מסוגים שונים(. a a +g 4 8 t(s) 4 8 t(s) g g איור 1: גרף תאוצה-זמן הנכון איור : גרף תאוצה-זמן שגוי התלמידים שסרטטו גרף כדוגמת זה שבאיור בנו אותו כנראה מתוך מחשבה שב- 4 השניות הראשונות גודל המהירות קטן בכל שנייה ב- 1 m/s לכן על פי תפיסתם, התאוצה היא שלילית, וב- 4 השניות הבאות גודל המהירות גדל בכל שנייה ב- 1 m/s לכן על פי תפיסתם התאוצה חיובית. אולם זה אינו תואם את הגדרת המונח "תאוצה", כפי שמגדירים אותה בפיזיקה. דרכים להתמודד עם קושי זה: 1. לוודא שהתלמידים יודעים את הגדרת המונח "תאוצה" ומבינים אותה היטב. אפשר לוודא זאת על ידי הקשבה לתלמידים כאשר הם מגדירים במילים שלהם את המושג "תאוצה".. לסרטט גרף מהירות זמן של גוף שנזרק כלפי מעלה, לדוגמה במהירות התחלתית בת 4, m/s ולסרטט גרף מהירות-זמן ביחס לציר מקום y המצביע לדוגמה כלפי מעלה. מתקבל גרף שבאיור 3. 15

4 v(m/s) t(s) איור 3: גרף מהירות-זמן של גוף שנזרק כלפי מעלה אחר סרטוט הגרף שבאיור 3 מוצע לבקש מהתלמידים לסרטט, על סמך הגרף מהירות-זמן, גרף תאוצה-זמן. ג. קביעת התאוצה של גוף כאשר מהירותו מתאפסת רגעית לשאלה מהי התאוצה של גוף שנזרק כלפי מעלה בנקודת שיא הגובה?" עונים רוב התלמידים )שעדיין לא למדו את תוצאה זו במפורש( שהתאוצה היא אפס. מעל 9% מהם עונים כך. תלמידים אינם מבינים שאם גודל מסוים המשתנה כפונקציה של הזמן מתאפס רגעית, אז השינוי ברגע הנדון בגודל זה אינו בהכרח אפס, למרות שהערך של הגודל הוא אפס. )נסביר בהמשך מדוע רשמנו אינו בהכרח אפס"(. כלומר יש כאן בלבול בין גודל, לבין קצב שינוי הגודל. כדי להבהיר את הנקודה הבעייתית אפשר להשתמש בכמה אסטרטגיות הוראה: )1( שימוש בגרף מהירות-זמן בנפילה חופשית: לדוגמה איור 3 לעיל. האיור מבהיר היטב שלמרות שהמהירות ברגע t 4 s היא אפס, שיפוע הגרף בכל הנקודות, כולל בנקודה המתאימה לרגע t, 4 s שונה מאפס. )( דיון בערך אפשרי של מהירות הגוף כהרף עין לפני הגעה לשיא הגובה, ובערך אפשרי כהרף עין אחרי ההגעה לשיא הגובה. )3( שימוש באנלוגיות ממצבים מוכרים. דוגמאות: כאשר הטמפרטורה יורדת ברציפות מ- 1+ C לטמפרטורה של 1, C אז ברגע שהטמפרטורה היא C השינוי בטמפרטורה איננו אפס. אדם יורד במורד גבעה באופן רציף, וברגע מסוים הוא חוצה את קו גובה אפס )גובה פני הים(. למרות שהגובה הוא אפס, הרי השינוי בגובה, אינו אפס. נסביר עתה מדוע רשמנו לפני כמה שורות שאם המהירות של גוף מתאפסת רגעית אז התאוצה אינה בהכרח אפס. נתחיל מדיון מתמטי: כאשר נתון גרף של y כפונקציה של x והעקומה חותכת את ציר x )כלומר 16

5 עוברת מערכים חיוביים לשליליים או להיפך(, אז הנגזרת בנקודה שבה y במקרים רבים אינה אפס. כלומר שיפוע המשיק לעקומה בנקודה y במקרים רבים אינו אפס. אבל יתכן שנקודת חיתוך העקומה עם ציר ה- x היא נקודת פיתול, והנגזרת בנקודה שווה לאפס, כמתואר באיור 4. y x איור 4: נקודת פיתול במילים אחרות שיפוע המשיק שווה לאפס. המשמעות הפיזיקלית: תיתכן נקודה שבה המהירות מתאפסת רגעית ואף התאוצה מתאפסת רגעית. זה קורה לדוגמה לגרף שנוסחת מהירות-זמן המתאימה לו היא.v t 3 מומלץ לא להציג את אפשרות קיומה של נקודת הפיתול בפני תלמידים שטרם למדו בשיעורי המתמטיקה את המושג הזה במסגרת לימודי החשבון הדיפרנציאלי. ד. גוף הנופל חופשית, מתנגש ברצפה ונעצר בתרגילים העוסקים בנפילה חופשית, לעתים נתון שגוף מתנגש ברצפה ונעצר. תלמידים v v לגבי תנועת הגוף מרגע מיישמים נוסחת נפילה חופשית, לדוגמה את הנוסחה + at שהוא נזרק כלפי מטה עד ההגעה לרצפה, ומציבים עבור המהירות הסופית v. הכשל של התלמידים הוא שאינם לוקחים בחשבון שמרגע שהגוף מתנגש ברצפה - תנועתו מפסיקה להיות "נפילה חופשית". ה. משמעות יחידת התאוצה m/s בבחינות בגרות שבהן תלמידים התבקשו לפרש את המשפט גוף נע לאורך קו ישר בתאוצה של "m/s )דוגמאות: תרגיל 1 בבגרות ותרגיל 1 בבגרות 8( התקשו כ- 5% מהתלמידים לפרש נכון משפט זה. דוגמה לתשובה שגויה של התלמידים: הגוף עובר מטר בכל שנייה בריבוע"., ובמשך m s המלצות דידקטיות: להציג תחילה בפני התלמידים, את יחידת התאוצה בצורה s/ שיעור אחד לפחות לאחר מכן לתת לתלמידים להתבטא רק בעזרת מונח זה )ולא להשתמש כביטוי שהוא מצד אחד קומפקטי יותר, m s ב-.(m/s רק אחר-כך, להציג את אופן הכתיבה אך מצד שני המשמעות שלו פחות שקופה. 17

6 פרק א ו. תרגילי מפגש של שני גופים שיוצאים לדרכם ברגעים שונים t משותף לשניהם. במקרים אלה, כאשר בתרגילים רבים של תנועות שני גופים, רגע,x x ואז מדובר בתנועות שוות-מהירות, אפשר להשתמש בנוסחה המקוצרת + vt t מייצג את משך התנועה המשותף של שני הגופים, לדוגמה מרגע צאתם לדרך עד לרגע התנגשותם. אבל במקרים שבהם גוף יצא לדרכו לדוגמה חצי שעה אחר צאתו של גוף 1, נדרש להשתמש. D t t- t אם רגע t נקבע כרגע יציאת גוף 1 לדרכו, בנוסחה x x + vdt כאשר v נמדד בקילומטרים ו- x )כאשר x x אז נוסחת מקום זמן של גוף היא (.5 v(t- + בקילומטר\שעה(. אבל תלמידים רבים מתבלבלים - הם מציבים בצורה אקראית למדי את הביטויים -t.5 )הביטוי הנכון במסגרת הנתונים שקבענו( או את הביטוי +t.5 )ביטוי שגוי במסגרת הנתונים שקבענו( )כל זה כאשר רגע t נבחר ברגע יציאת גוף 1 לדרכו(. דרך התמודדות עם הקושי: לפעול על פי השגרה הבאה: 1. להגדיר את האפס ) t( של ציר הזמן t. t. לקבוע את זמן ההתחלה 3. לכל גוף לרשום את הביטוי עבור משך תנועתו מרגע שהוא החל לנוע עד לרגע המפגש )או רגע אחר שרלוונטי לתרגיל(. הצעה לתרגול השגרה: x. גוף ב 3 m מנקודה ששיעורה v 1 5 m/s במהירות t גוף א יצא לדרכו ברגע.x 5 m מנקודה ששיעורה v יצא לדרכו 5 שניות לפני גוף א, במהירות 8 m/s רשום את נוסחאות מקום-זמן של שני הגופים. נסכם את הנתונים בטבלה: v( m s ) 5 x ( m) 3 t (s) גוף א 8 5 גוף ב 5 x x+ v(t- t הן: התשובות הנכונות, על סמך הנוסחה: ( א x 3+ 5t לגוף א: ב x (t + 5) לגוף ב: 18

7 ז. תרגילי מפגש בין שני גופים שבמהלך התנועה אחד הגופים נעצר פרק א דוגמה לתרגיל כזה הוא תרגיל 94 בפרק א. אם מפעילים את השגרה )הפרוצדורה( הרגילה, דהיינו כותבים את נוסחאות מקום-זמן של שני הגופים, ואחר-כך משווים בין שני המקומות כדי לחשב את הרגע t שבו שני הגופים יהיו באותו מקום - מתקבלת תשובה שגויה לתרגיל 94. הבעיה היא שאם גודל מהירותו של אחד הגופים הולך וקטן, הוא נעצר ברגע מסוים. אבל על פי נוסחת מקום-זמן של אותו גוף - הוא אמור לנוע אחורה לאחר עצירתו. במציאות, ברוב התרגילים הכוונה היא שאם הגוף נעצר - התאוצה מתאפסת. כך זה לדוגמה לגבי מכונית; כאשר הנהג לוחץ על דוושת הבלם גודל המהירות הולך וקטן, נניח בקצב של,m/s ואחרי רגע שהמכונית נעצרת - הבלמים לא גורמים למהירות ללכת ולקטון לערכים של -, m/s -4m/s, כלומר, לא גורמים למכונית לנוע אחורנית. לכן בפתרון התרגיל חייבים למצוא מתי הגוף המאט נעצר, ולהוסיף תנאי נוסף האומר כי מרגע זה ואיילך מקום הגוף אינו משתנה. הבעיה היא שתלמידים רבים אינם מציגים את התנאי הנוסף. 1.4 פעילות שנועדה לחיזוק הקשר בין מה שקורה במציאות לבין ייצוגים של המציאות או: קשר בין תנועה לבין ייצוג שלה באמצעות גרף במבוא הכללי הדגשנו את החשיבות של יצירת קשר בין המציאות לבין ייצוג של המציאות. להלן פעילות שקיימתי עם תלמידיי שלמדו בכיתה י. הפעילות היתה במסגרת לימוד הנושא "תנועה קצובה", בתחילת הוראת הפרק "קינמטיקה". הרקע של התלמידים לפני ביצוע הפעילות: הם למדו את המושגים תנועה קצובה, ומהירות בתנועה קצובה, אך עדיין לא למדו מהו הייצוג הגרפי של המקום כפונקציה של הזמן. לפני שבצענו את החלק המעשי של הפעילות, התלמידים התבקשו לסרטט באופן איכותי, שלושה גרפי מקום-זמן: אחד עבור גוף שנע בתנועה קצובה איטית, אחד עבור גוף שנע בתנועה קצובה במהירות גדולה יותר וגרף עבור גוף שמהירותו הולכת הגדלה )הם לא למדו עדיין על תנועה שהיא שוות-תאוצה(. לאחר מכן יצאתי עם התלמידים לחצר, ומתחנו על הקרקע סרט מדידה שאורכו 5 מטר. ביקשתי מתלמידים שיצמידו בדמיונם לסרט המדידה ציר x שראשיתו מתלכדת עם תחילת סרט המדידה, ושהשנתות שלו מתלכדות עם אלו של סרט המדידה. שישה תלמידים, שנכנה אותם "המודדים", עמדו לאורך הסרט, במקומות ששיעוריהם x, 5 m, 1 m, 15 m, m, 5 m ובידיהם היו שעוני עצר. שלושה תלמידים, א, ב, ו- ג, הלכו בזה אחר זה לאורך הסרט החל מהנקודה ששיעור x עד לנקודה ששיעורה x: 5 m תלמיד א התבקש ללכת בתנועה קצובה במהירות נמוכה. ברגע שהוא יצא לדרכו מהנקודה ששיעורה x, כל ששת ה"מודדים" הפעילו יחד את שעוני העצר שהיו בידיהם. בכל פעם שתלמיד חלף ליד אחד המודדים - המודד עצר את השעון שבידו. לבסוף, כל אחד מהמודדים רשם על דף נייר את שם התלמיד שהלך לאורך הסרט, ואת הרגע שבו התלמיד חלף לידו. דברים דומים נעשו כאשר תלמיד ב, שהתבקש ללכת בתנועה קצובה במהירות גדולה יותר, צעד לאורך המסלול. כך גם לגבי תלמיד ג שהתבקש ללכת במהירות שהולכת וגדלה. 19

8 תוצאות המדידות מופיעות בטבלה שלפניך: ערכי הזמנים שבהם ה"הולכים" הגיעו לנקודות ששיעוריהן,,x(m) הם: התלמידים שהלכו לאורך סרט המדידה תלמיד א תלמיד ב תלמיד ג את המידע הרשום בטבלה יש להבין כך: תלמיד ב לדוגמה, היה ברגע t בנקודה ששיעורה x, ברגע t.1 s הוא חלף בנקודה ששיעורה,x 5 m ברגע t 3.69 s בנקודה ששיעורה x 1 m וכך הלאה. לאחר החלק המעשי של הפעילות חזרנו לכיתה, ואני העלתי במחשב שבעמדת המורה גיליון אלקטרוני אקסל. ששת ה"מודדים" הקלידו בגיליון האלקטרוני בזה אחר זה את שלושת ערכי הזמן שכל אחד מדד )כלומר עמודה בטבלה(, עד שהתקבלה טבלה כדוגמת זו המוצגת לעיל. תלמיד אחר, סרטט במחשב דיאגרמת פיזור של המקומות שבהם עבר תלמיד א כפונקציה של הזמן, והוסיף לדיאגרמת הפיזור את קו המגמה, את משוואתו ואת ריבוע מקדם המתאם של נקודות דיאגרמת הפיזור לקו המגמה. התקבל הגרף שבאיור 1: x(m) x 1.4t - 6 R t(s) איור 1: גרף מקום-זמן של תלמיד א שהתבקש ללכת בתנועה קצובה איטית תלמיד אחר סרטט במחשב גרף מקום-זמן של ההולך השני )איור (:

9 x(m) x 3.t -.99 R t(s) איור : גרף מקום-זמן של תלמיד ב שהתבקש ללכת בתנועה קצובה מהירה תלמיד נוסף סרטט במחשב גרף מקום-זמן של תלמיד ג )איור 3(: x(m) x.43t + 1.t +.6 R t(s) איור 3: גרף מקום-זמן של תלמיד ג שהתבקש ללכת במהירות שהולכת וגדלה לאחר סיום הפעילות תלמידים ציינו שהפעילות היתה מהנה ומלמדת מאוד. 1

10 . יישומונים בנושאי הפרק א. היישומון האיש הנע Man( )The Moving מאתר 1 ברשימת האתרים במבוא הכללי לספר. תיאור: תיאור גרפי של תנועת גוף; להסתרת הגרף הלא רצוי יש ללחוץ על הכפתור "-" הנמצא בפינה הימנית העליונה של מערכת הצירים. קישור ישיר ליישומון: דירוג: ב. היישומון תנועה מואצת של גוף שיש לו מהירות התחלתית Animation( )Motion מאתר 1 ברשימת האתרים במבוא הכללי לספר. תיאור: מוצג גרף מהירות-זמן של גוף שיש לו מהירות התחלתית; התאוצה )גודל וסימן אלגברי( ניתנת לשינוי. קישור ישיר ליישומון: ClassMechanics/MotionDiagram/MotionDiagram.html דירוג: ג. היישומון תנועה שוות-תאוצה: המקום, המהירות והתאוצה כפונקציה של הזמן Acceleration( )Constant מאתר 1 ברשימת האתרים במבוא הכללי לספר. תיאור: מהירות כשיפוע של גרף מקום-זמן ותאוצה כשיפוע של גרף מהירות-זמן. שינוי מהירות כשטח מתחת לגרף תאוצה-זמן. קישור ישיר ליישומון: ClassMechanics/ConstantAccel/ConstantAccel.html דירוג:

11 ד. היישומון שתי מכוניות בתנועה mòbils( )Dos מאתר 11 ברשימת האתרים במבוא הכללי לספר. תיאור: תיאור גרפי של תנועת שתי מכוניות; כל קבועי התנועה ניתנים לשינוי. יש להגדיר את מאפייני התנועה וללחוץ על inici קישור ישיר ליישומון: דירוג: ה. היישומון תנועה שוות-תאוצה, תיאור גרפי rectilini( )Moviment מאתר 11 ברשימת האתרים במבוא הכללי לספר. תיאור: אפשר להגדיר את תנועת המכונית על ידי סרטוט הגרפים של תאוצה, מהירות ומקום כפונקציה של הזמן. את הגרפים משנים באמצעות גרירת חצים ונקודות אדומים המופיעים במערכות הצירים. יש להגדיר את מאפייני התנועה וללחוץ על inici להפעלת ההדמיה. קישור ישיר ליישומון: דירוג: ו. היישומון נחיתת מעבורת - משחק מאתר 1 ברשימת האתרים במבוא הכללי לספר. דירוג: תיאור: יש להנחית את המעבורת על הירח על ידי שינוי מהירותה תוך כדי הנחיתה. קישור ישיר ליישומון: C:\Documents and Settings\Administrator\Local Settings\Temp \phetlunar-lander\lunar-lander_en.html 3

12 3. פתרונות לתרגילי הפרק עם הערות דידקטיות ייעודיות לתרגילים 1. הצגת תנועת הגוף באמצעות טבלת מקום-זמן: זמן - t )שניות( מקום - x )ס"מ(. א. גרף מקום-זמן של תנועת הגוף: x(cm) t(s) ב. מרגע t עד רגע t 3 s הגוף נע צפונה, ומרגע t 3 s עד רגע t 6 s הגוף נע דרומה. 3. א. ארבעה אמצעים שבאמצעותם אפשר להפיק תרשים עקבות של גוף הנע לאורך קו ישר: רשם-זמן, מצלמת-וידאו, מד-טווח מחובר למחשב וצילום סטרובוסקופי. ב. בעזרת מצלמת וידאו: באזור התנועה מצמידים סרגל שאורכו ידוע, לדוגמה 1 מטר. מבררים כל כמה שניות נעשה צילום; לדוגמה נניח שהמצלמה מצלמת כל.4 שניות. מצלמים את הגוף הנע כך שהסרגל יופיע בתצלום, וישר דימיוני המאונך לסרגל במרכזו יפנה פחות או יותר לעבר המצלמה. באמצעות תכנה מתאימה לניתוח סרטוני וידאו מסמנים במסך המחשב את מקומות הגוף כפי שהתקבלו בכל תצלום. אוסף כל הנקודות המייצגות את מקומות הגוף עם ערכי המקומות וערכי הזמנים של כל עקבה, הוא תרשים עקבות של הגוף..4 גוף א: ההעתק הוא D x m גוף ב: ההעתק הוא D x - 5m גוף ג: ההעתק הוא D x - 9m גוף ד: ההעתק הוא D x 6m 4

13 5. ההפרש מייצג את גודל ההעתק אם המכונית נעה לאורך מסלול ישר, כלומר הכביש אינו מתפתל. דקדקנים יאמרו שנדרש גם שהמכונית לא תנוע מרחק רב מדי, אחרת המסלול יהיה מעגלי בגלל שהארץ היא כדורית. 6. א. תנועת הגוף היא שוות מהירות כי הגוף עובר העתקים שווים בפרקי זמן שווים. ב. )1( טבלת מקום-זמן: זמן - t )שניות( מקום - x )ס"מ( )( גרף מקום-זמן: x(cm) t(s) )3( התבנית הכללית לנוסחת מקום-זמן בתנועה שוות מהירות היא: x. x + vt בתרגיל הנתון x,.5 m ו- v, m/s כי העתק הגוף בכל שנייה הוא מטר. מכאן שנוסחת מקום-זמן של הגוף היא: כאשר x נמדד בס"מ ו- t נמדד בשניות. ג. מציאת מהירות הגוף בדרכים שונות. x.5 + t על פי האיור: אפשר לראות כי העתק הגוף בכל שנייה הוא ס"מ, מכאן שמהירותו ס"מ לשנייה. על פי טבלת מקום-זמן: החישוב יתבסס על הגדרת המהירות בתנועה שוות-מהירות: בוחרים שתי נקודות מהטבלה, למשל את הנקודות cm(,(.5 ו- cm( (,,s 4.5 ומחשבים על פי הגדרת v Dx cm/s המהירות: Dt - על פי גרף מקום-זמן: החישוב יתבסס על כך שהמהירות בתנועה שוות-מהירות שווה לשיפוע גרף מקום-זמן: בוחרים שתי נקודות על הגרף, למשל cm(.5(,s 1.5 ו- cm(.5(,,s 5.5 ומחשבים את v Dx cm/s המהירות על פי הגדרת השיפוע: Dt.5-.5 על פי נוסחת מקום-זמן: בתנועה שוות-מהירות המהירות היא המקדם של הזמן. 5

14 7. א. על פי האיור, הגוף מעתיק את מקומו בכל שנייה בשיעור של 1.5, cm מכאן שמהירות הגוף היא. 1.5 cm/s ב. נוסחת מקום-זמן של הגוף היא x t כאשר t נמדד בשניות, ו- x נמדד בס"מ. x t $ cm מקום הגוף ברגע : t 5. s x t $ -5 cm מקום הגוף ברגע : t s 8. א. נציב בנוסחה הכללית לתנועה שוות-מהירות x x + vt את המקום ההתחלתי ואת המהירות הנתונים בתרגיל, ונקבל כי נוסחת-מקום-זמן של האצן היא: x t ב. על סמך נוסחת מקום-זמן שמצאנו בסעיף א, מקום האצן ברגע t: 1 s x 1 + 4t 1+ 4$ 1 58 m ג. ברגע t האצן נמצא ב- x1. 1 m על פי התשובה לסעיף ב, ברגע t 1 s האצן נמצא, D x x- x1 ב-.x 58 m מכאן שההעתק מרגע t עד רגע t 1 s הוא 48m t v 3 m/s 9. תרשים הבעיה: v +3 m/s ; x m x(m) א. נתון כי: רוכב האופניים הגיע ברגע 1s t לנקודה ששיעורה 3 מטר. x x + vt m ב. במהלך 1 השניות הראשונות לתנועתו, רוכב האופניים נע מ- x m ל- x. 3 m מכאן שהוא עבר מרחק של 3 מטר. ג. נתון כי: v 3 m/s ; x m x x + vt + (- 3) 1-8 m $ רוכב האופניים הגיע לנקודה ששיעורה (8 ) מטר, לאחר שעבר מרחק של 3 מטר. 1. א. גרף מקום-זמן של הגוף הוא לינארי. זה מעיד שתנועתו שוות-מהירות. ב. הכיוון החיובי של ציר x מצביע ימינה. ערכי x של הגוף הולכים וגדלים, מכאן שהגוף נע בכיוון החיובי של ציר x, כלומר הגוף נע ימינה. ג. על פי הגרף, ברגע t הגוף נמצא ב- x. 1 m ד. את מהירות הגוף אפשר לחשב על פי שיפוע הגרף. נבחר בנקודות )m,( 1 ו- )m 4(,s 3 הנמצאות v Dx על העקומה, ונחשב באמצעותן את שיפוע הגרף, כלומר את המהירות:.5m/s 1-3 Dt 4 - מהירות הגוף היא.5 מטר לשנייה. 6

15 11. א. ברגע אפס הולך הרגל נמצא בנקודה ששיעורה x. 4 m פרק א ב. כן. הולך הרגל חולף בראשית של ציר המקום ברגע t. 1 s אפשר לראות זאת מכך שברגע זה.x ג. התנועה היא שווה מהירות, לכן התבנית המתמטית של נוסחת מקום זמן היא: x x + vt )א( על פי הגרף: x 4 m )ב( המהירות שווה לשיפוע הגרף. נחשב את השיפוע על-פי שתי הנקודות ששיעוריהן v )ג( Tx ms / :(1 s, ) (, ו- 4 m) Tt 1 - נציב את )ב( ואת )ג( ב-)א(, ונקבל את נוסחת מקום-זמן: x 4.4t )ד( ד. נחשב את מקום האדם ברגע t 17 s על-פי נוסחת מקום-זמן: x(17 s) 4-.4 $ m 1. כיוון שגרף ג מסורטט במערכת צירים בעלת קנה מידה שונה מזה של גרפים א ו-ב, אי אפשר לקבוע לאיזה גוף מהירות הגדולה ביותר על-ידי השוואת הזוויות שבין העקומות לבין ציר ה- x, אלא יש לחשב במפורש את השיפועים: א v T x 1-4 m/s Tt 3 - ב v T x ms / Tt 3 - ג v T x - ms / Tt 1 - גוף א נע, אם כן, במהירות הגדולה ביותר, וגוף ב נע במהירות הקטנה ביותר. 13. א. נקודה A נמצאת על ציר המקום, לכן היא מייצגת מקום מסוים. גוף א נח )אותו ערך x לכל הזמנים t(, מכאן שנקודה A מייצגת את מקום מנוחתו. ב. נקודה B נמצאת על ציר הזמן. היא מייצגת רגע מסוים. זהו הרגע שבו גוף ג החל לנוע. ג. נקודה C מייצגת את המפגש בין הגופים ב ו- ג. השיעור האופקי של הנקודה C מייצג את רגע המפגש, והשיעור האנכי שלה מייצג את מקום המפגש. ד. כל אחד מהגופים ב ו- ג נע במהירות קבועה. המהירות של כל אחד מהגופים מיוצגת על ידי שיפוע הקו המתאים. שיפועי הגרפים שונים. חיתוך בין הקווים אינו מעיד על שוויון מהירויות. ה. המהירויות מיוצגות על-פי השיפועים של הישרים. כיוון שכל הישרים מסורטטים במערכת צירים אחת, הזווית של כל ישר עם הציר האופקי יכולה לשמש מדד לשיפוע. לישר המתאים לגוף ג זווית גדולה מהזוויות של הישרים המתאימים לגופים א ו- ב, לכן גוף ג נע במהירות הגדולה ביותר. 7

16 14. א. רוכבי אופניים א ו- ג נעים במהירויות קבועות. מסיקים זאת מכך, שכל אחד מהם עובר מרחקים שווים בפרקי זמן שווים. א v T x m/s ב. )1( מהירותו של רוכב אופניים ג: Tt 1 ג v T x 1 1 m/s מהירותו של רוכב אופניים ב: Tt 1 )( ראה ישרים המתאימים לגופים א ו- ג באיור המופיע בתשובה לסעיף ד. ג. רוכבי אופניים ג ו- ד נפגשים ברגע t 6 s )וגם כמובן ברגע t(. במבט ראשון נראה כאילו שהם נפגשים גם ב- x. 1 m אולם רוכבי האופניים חולפים במקום זה ברגעים שונים )רוכב אופניים ג ברגע t, 1 s ורוכב אופניים ד ברגע s t( וזו אינה פגישה )להפגש פירושו להימצא באותו מקום באותו זמן(. נוח לראות מתי הגופים נפגשים כאשר מחברים את העקבות של הגופים, המתאימות לאותם זמנים, כמתואר באיור: גוף ג גוף ד x(m) ד. מהתבוננות בעקומות המתאימות לרוכבי אופנים ג ו-ד אפשר לראות כי רוכבי אופניים אלה אכן נפגשים ברגעים t ו-.t 6 s x(m) גוף א 6 5 גוף ג 4 3 גוף ד t(s) 8

17 15. א. גוף א נע ימינה. הסבר: ככל שהזמן חולף, ערכי x של גוף א הולכים וגדלים, מכאן שהוא נע בכיוון החיובי של ציר x. נתון בשאלה כי הכיוון החיובי של הציר הוא ימינה - מכאן שגוף א נע ימינה. גוף ב נע שמאלה. הסבר: ככל שהזמן חולף, ערכי x של גוף ב הולכים וקטנים, מכאן שהוא נע בכיוון השלילי של ציר ה- x. נתון בשאלה כי הכיוון החיובי של הציר הוא ימינה - מכאן שגוף ב נע שמאלה. ב. אם עקומת מקום-זמן של גוף היא קו ישר, אזי המהירות שווה לשיפוע הקו הישר. כדי לחשב שיפוע של קו ישר יש לבחור על הקו שתי נקודות אשר מקיימות: i. רצוי שכל אחת משתי הנקודות שעל הקו הישר תהיה נקודת חיתוך קווי הרשת, כדי שנוכל לקרוא באופן מדויק ככל האפשר את שיעורי הנקודה..ii רצוי שהנקודות תהיינה רחוקות כמה שיותר זו מזו, כדי שהשגיאה היחסית בחישוב הפרשי השיעורים של הנקודות תהיה קטנה ככל האפשר. א v, של גוף א נבחר בנקודות ),( ו- )m 5(,s שעל הקו הישר כדי למצוא את המהירות, א v Dx - 8 m/s המתאים. המהירות: D t 5 - ב v, של גוף ב, נבחר בנקודות )m,( 18 ו- ),s 45( על הקו הישר כדי למצוא את המהירות, ב v Dx m/s המתאים. המהירות: D t - 45 ג. שני גופים נפגשים ברגע שהם נמצאים באותו מקום. בתנועה לאורך קו ישר הדבר אומר ברגע שבו יש להם אותו ערך x. מצב זה מיוצג על ידי הנקודה בה נחתכות שתי העקומות. שיעור הזמן של נקודת חיתוך שתי העקומות הוא: t 15 s הערה והארה: התרגיל הזה נועד בעיקר לתרגול חישוב שיפוע. כדי להתמקד במשימה של הפעלת השגרה לחישוב שיפוע, ללא התייחסות לחלק של השגרה העוסקת בבחירת הנקודות על הקווים הישרים, בחרנו קווים כך שקל לקרוא שיעורי הנקודות עליהם.. 16 א. ברגע t כל אחת מהמכוניות נמצאת בעיר אחרת. ברגע זה, על פי הגרף, המרחק בין המכוניות הוא 1 ק"מ. מכאן שהמרחק בין הערים הוא 1 ק"מ. ב. ברגע t 1 h מכונית א נמצאת ב-.x 1 km אולם בנקודה ששיעורה x 1 km נמצאת עיר B. מכאן שמכונית א מגיעה לעיר B ברגע t. 1 h ג. נחשב את המהירויות על פי הכלל שהמהירות בתנועה שוות-מהירות שווה לשיפוע עקומת מקום- זמן. עבור מכונית א נבחר על הקו את הנקודות ששיעוריהן: ),( ו- km(.75(.,h 75 המהירות היא: א v Dx D t 75-1 km/h.75-9

18 עבור מכונית ב נבחר על הקו המתאים את הנקודות ששיעוריהן: km(,( 1 ו- ),h 1.5(. ב v Dx km/h המהירות היא: D t ד. תרגיל 15 נבנה כך שנקודת החיתוך של שתי העקומות נמצאת בדיוק על חיתוך קווי הרשת. לכן אפשר לקבוע על פי הגרף בלבד, ובצורה מדויקת, את שיעורי נקודת החיתוך, כלומר לקבוע מהו רגע המפגש ומהו מקומו. לעומת זאת, התרגיל הנוכחי נבנה כך שאי-אפשר לקבוע ישירות על פי הגרף ובצורה מדויקת מהם שיעורי נקודת החיתוך, לכן יש לחשב ערכים אלה. x x + vt + 1t & x )א( 1 t א נוסחת מקום זמן של מכונית א: x x + vt & x )ב( ב 1 8 t נוסחת מקום זמן של מכונית ב: - x א x & ב 1 t 1-8 t & t..56 h רגע המפגש הוא רגע t המקיים: המכוניות חולפות זו ליד זו בערך.56 שעה לאחר צאתן לדרך )כלומר בערך 33 דקות ו- 36 שניות(. 7 km/h 9 km/h. 17 א. תרשים הבעיה: חיפה תל אביב 8 x(km) נגדיר ציר x שכיוונו החיובי מתל-אביב לחיפה, וראשיתו בתל-אביב. משאית )א( ב. נוסחת מקום זמן של המשאית: x + 7 t מונית )ב( ג. נוסחת מקום-זמן של המונית: x 8 9 t המהירויות נמדדות בק"מ לשעה, הזמנים בשעות, והמקומות בק"מ. ד. "פגישה" היא הימצאות שני כלי הרכב באותה נקודה x באותו רגע t. לכן, כדי למצוא מתי שני כלי הרכב נפגשים, נשווה בין האגפים הימניים של משוואות )א( ו- )ב( ונקבל: 7 t 8 9 t t.5 h כלומר כלי הרכב נפגשים חצי שעה לאחר צאתם. כדי למצוא את מקום הפגישה, נציב במשוואה )א( t.5 h )באותה מידה אפשר להציב זמן זה גם במשוואה )ב(( ונקבל: xמשאית km תל-אביב נמצאת בנקודה ששיעורה, והמפגש הוא בנקודה ששיעורה 35. km מכאן שהמכוניות נפגשו במרחק 35 km מתל-אביב. ה. באיור שלהלן מתוארים גרפי מקום-זמן של שני כלי הרכב )ביחס לציר מקום שהוגדר ב- )א((. מפגש כלי הרכב מיוצג על-ידי נקודת החיתוך של שני הקווים. 3

19 מהאיור אפשר לראות כי שני כלי הרכב נפגשו חצי שעה לאחר צאתם לדרך, במרחק 35 ק"מ מתל-אביב. x (km) מונית משאית t (h) 18. א. לפניך תרשים הבעיה שאליו הוספנו איור של ציר x שכיוונו החיובי מצביע צפונה, וראשיתו בתחנת דלק א. נבחר את רגע יציאת המשאית לדרכה כ- t )זה מתאים לשאלה שבסעיף ג(. כביש x (km) צפון משאית ברגע תחנת דלק א t v 7 km/h תחנת דלק ב 1 km אופנוע ברגע t 1 h v 1 km/h -1 נוסחת מקום-זמן של המשאית: + x x + vt & x 31 7 t משאית אופנוע x x +Dt & x ( t -. 5) ב. נוסחת מקום-זמן של רוכב האופנוע: ג. נמצא את רגע המפגש. לשם כך נשווה בין האגפים הימניים של נוסחאות מקום-זמן של שני כלי 7t ( t-5. ) הרכב. פתרון המשוואה: t. h כיוון שרגע יציאת המשאית לדרכה נבחר כ- t, הרי כלי הרכב נפגשו שעתיים לאחר יציאת המשאית לדרכה )כלומר אחרי נסיעה של שעה וחצי של רכיבה, האופנוע משיג את המשאית(.

20 19. א. על פי הגרף, הגוף חולף בנקודה ששיעורה x 1.5 m בשני רגעים: לראשונה ברגע t, 1.5 s ואחר- כך ברגע.t 4.75 s הערה והארה: תלמידים נוטים לשאול האם זה לגיטימי לקרוא את הערכים מן הגרף כי (כך הם טוענים) קריאה כזו היא לכאורה אינה מדוייקת. התשובה לכך היא שזה לגיטימי לקרוא ערכים מן הגרף. הדקדקנים יוכלו לבדוק את הקריאה בעזרת גאומטריה. ב. בקטע התנועה הראשון נחשב את המהירות בעזרת שתי הנקודות ),( ו- )m (,s הנמצאות על v Dx - 1m/s הקו הישר: Dt - קטע התנועה השני מקביל לציר הזמן, לכן שיפועו אפס, לכן מהירות הגוף היא אפס. בקטע התנועה השלישי נבחר בנקודות )m 4.5(,s ו- )m 6(,s 1 הנמצאות על הקו הישר: v Dx Dt -(- 1) - m/s ג. בתחילה הגוף נמצא ב- x1. לבסוף הגוף נמצא ב- x. 1 m ההעתק: D x x - x m 1 ד. מ- t עד t s הגוף עובר דרך שאורכה. m מ- t s עד t 4.5 s הוא במנוחה. מ- t 4.5 s עד t 6 s הוא עובר דרך של.3 m הדרך הכוללת היא, אם כן,.5 m. עבור כל אחד משתי הריצות נבחר ציר x שכיוונו ככיוון הריצה, וראשיתו בנקודה שממנה הרץ יצא לדרכו. v Tx ms / לגבי ריצת ה- 1 מטר: Tt 986. v Tx ms / לגבי ריצת ה- מטר: Tt D t t והעתק הגוף. 1 א. מרגע t1 s עד רגע t 4 s פרק הזמן שחלף הוא - t1 4- s. v Dx 15 הוא. D x x - x m המהירות הממוצעת היא: 7.5 m/s Dt 1 ב. המשמעות הגרפית של המהירות שחישבנו היא שיפוע המיתר המחבר את שתי הנקודות על העקומה שערכי הזמן שלהן הם t1 s ו- s. t 4 v s " s + Dt. נרשום תחילה ביטוי מתמטי למהירות הממוצעת מרגע t1 s עד רגע: t + Dt x- x1 6 ( Dt) Dt + 4 t - t + Dt- 1 3

21 המהירות הרגעית היא גבול המהירויות הממוצעות כאשר מרווח הזמן D t שואף לאפס: v lim ( Dt+ 4) 4m/s Dt " מהירות הגוף ברגע t s היא.4 m/s 3. א. כדי למצוא את מקום הגוף ברגע t יש להציב בנוסחת מקום-זמן הנתונה t: x() + $ + 4 4m x(3s) 3 + $ m ב. נציב בנוסחת מקום-זמן הנתונה t: 3 s x(3+ Dt) -x(3) v(3s) lim v3s " 3s + Dt lim ג. נחשב את המהירות הרגעית ברגע : t 3 s Dt " Dt " Dt v(3s) lim 6 (3 + Dt) + $ (3+ Dt) + 4@ $ 3+ 4@ lim ( Dt + 8) 8m/s Dt D Dt " t " המהירות הרגעית של הגוף ברגע t 3 s היא 8 מטר לשנייה. הערה: תלמידים שלמדו לגזור, יוכלו לבדוק את התשובה על ידי גזירת הפונקציה.x(t) 4. הפתרון מבוסס על כך ששיפוע המשיק לגרף מקום זמן בכל נקודה של שווה למהירות הגוף ברגע המתאים לנקודה. בקטע התנועה OA מהירות הגוף הולכת וגדלה; רואים זאת מכך ששיפועי המשיקים הולכים וגדלים, כאשר הזמן גדל. בקטע התנועה AB מהירות הגוף קבועה )אך שונה מאפס(; רואים זאת מכך ששיפוע המשיק קבוע כאשר הזמן גדל. בקטע התנועה BC מהירות הגוף הולכת וקטנה, כי שיפוע המשיק הולך וקטן, כאשר הזמן גדל. בקטע התנועה CD מהירות הגוף שווה לאפס, כי שיפוע המשיק שווה לאפס בכל נקודה. 5. א. מ- t עד t 5 s הגוף נע ימינה; רואים זאת מכך שערכי x הולכים וגדלים בפרק זמן זה, או מכך שהמהירויות ברגעים השונים הן חיוביות )שיפועי המשיקים חיוביים(. ב- t 5 s הגוף נעצר רגעית, ולאחר מכן הוא נע בכיוון הנגדי, כלומר שמאלה )ברגע t 9 s הוא חולף בנקודת המוצא, וברגע t 95 s הוא חולף בראשית הציר(. ברגע t 1 s הגוף שוב נעצר רגעית, ולאחר מכן נע בכיוון מנוגד, כלומר ימינה, עד רגע.t 16 s )ברגע t 145 s הגוף עובר שוב בראשית(. מסלול התנועה: 1 s 16 s s s x(m) 33

22 ב. מהירות הגוף שווה לאפס ברגעים שבהם המשיק לעקומה מקביל לציר הזמן, כלומר ברגעים:.t, 5 s, 1 s, 16 s ג. המרחק המרבי ימינה לנקודת המוצא שאליו מגיע הגוף הוא 5 m )ב- t הוא נמצא בנקודת המוצא ששיעורה x, 1 m וברגע 5s t הוא מגיע לנקודה ששיעורה כ- 6m(. 6. גרפי מהירות-זמן של ארבעת הגופים: v(m/s) () (1) (3) (4) t 7. כיוון התנועה של גוף א הוא ימינה. לומדים זאת מכך שמהירותו חיובית, ומשמעות הדבר שהוא נע בכיוון החיובי של ציר x. כיוון התנועה של גוף ב הוא שמאלה; מהירותו שלילית ומשמעות הדבר שהוא נע בכיוון השלילי של ציר x. 8. א. בהינתן גרף מהירות-זמן, העתק גוף מיוצג על ידי השטח הכלוא בין הגרף לבין ציר הזמן. השטח מ- t עד t 1 s הוא: m. 1 $ ב. הגוף נע בכיוון החיובי, רואים זאת מכך שמהירותו חיובית. ג. מקום הגוף הוא הסכום של המקום ההתחלתי - m x 5 והעתק הגוף - m ; התוצאה: 5. m 9. א. גרף מהירות זמן של מכונית א: v (km/h) t(h) 34

23 ב. המהירות הממוצעת של מכונית ב שווה לזו של מכונית א, כי בפרק הזמן הנדון ההעתקים של שתי המכוניות שווים. 3. גרף מקום זמן של תנועת הגוף: x(m) t(s) מרגע t עד t 3 s תנועת הגוף קצובה, לכן גרף מקום זמן המתאים לקטע תנועה זה הוא קו ישר. הוא העתיק את מקומו בשיעור 6 m.3 ברגע t הגוף נמצא ב- x m וברגע t 3 s הוא נמצא ב-.x 8 m מרגע t, 3 s עד רגע t 4 s מהירות הגוף היא אפס, ולכן גרף מקום-זמן הוא ישר המקביל לציר הזמן )x קבוע וערכו 8 מטר(. מרגע t 4 s עד רגע t 6 s הגוף נע בתנועה קצובה, ומהירותו שלילית. העתקו בפרק זמן זה:. (8 m m) x 6 m הגוף יימצא בנקודה ששיעורה t 6 s ( 1). לכן ברגע m 31. שני הגופים עוברים דרכים שוות מרגע t עד t. T הסבר: הדרך שכל גוף עובר מיוצגת על- ידי ה"שטח" ש"מתחת" לעקומה המתאימה. ה"שטחים" המתאימים לשני הגופים הם "שטחי" שני המשולשים המופיעים באיור. לשני המשולשים בסיס משותף, וגבהים שווים, לכן הם שווים בשטחם, ולכן הדרכים שוות. 3. א. בהינתן גרף מהירות זמן, השטח הכלוא בין העקומה לבין ציר הזמן מייצג את ההעתק. מספר המשבצות מרגע t עד רגע t.5 s הוא בדיוק.5 מספר המשבצות מרגע t.5 s עד רגע t 6 s הוא בקירוב 1. לכן סה"כ מספר המשבצות מתחת לעקומה הוא 46. משבצת אחת בגרף הנתון מייצגת העתק של.5 מטר, לכן כל השטח מייצג העתק של 3 מטר. העתק הגוף מ- t עד t 6 s הוא בקירוב 3 מטר. ב. ברגע t הגוף היה בנקודה ששיעורה מטר. הוא העתיק את מקומו בשיעור של 3 מטר, לכן ברגע t 6 s הגוף נמצא בנקודה ששיעורה 43 מטר. 35

24 . 33 א. משמעות המשפט: בכל שנייה, מהירות הגוף גדלה ב- מטר לשנייה. ב. בפרק זמן זה תאוצת הגוף קבועה, לכן: v v + at m/s T x v t + at + $ 5 5 m ג. ד. מהירות המכונית היא מרבית ברגע v v + at v m/s. t 1 s v (m/s) ה. גרף מהירות זמן של תנועת המכונית: ו. פתרון אלגברי: ב- 1 השניות הראשונות המכונית נעה בתנועה שוות תאוצה. מקום המכונית x x v t at x & + $ 144 m 1 t(s) ברגע :t 1 s מרגע t 1 s עד רגע t s המכונית נעה במהירות קבועה של 4 מטר לשנייה )ראה תשובה לסעיף ד(. מקום המכונית ברגע x x1 + vt m :t s פתרון גרפי: אפשר לחשב את העתק המכונית מ- t עד s t גם כ"שטח" הטרפז ( + 8) $ 4 D x" s 336m הכלוא בין הגרף לציר הזמן: 34. נבטא את מהירויות המכונית ביחידות :SI 18 km 18 1 m 5 ms / h 36 s 7 km 7 1 m ms / h 36 s a Tv Tt m/s א. תאוצת המכונית: 6 T x 5$ $ 6 ב. המרחק שהמכונית עברה: 75 m v + v Tx t 35. נבחר ציר מקום שכיוונו החיובי ככיוון תנועת המטוס. 6 + v $ 6 & v m/s 36

25 36. נחלק את תנועת התיבה לשני שלבים: 1. שלב ההדיפה: מרגע שבו רגל הילד נוגעת לראשונה בתיבה, עד שהרגל ניתקת מן התיבה. נסמן את מהירות התיבה בסוף שלב זה של התנועה ב- v1.. השלב מרגע סיום ההדיפה )מהירות התיבה היא v1(, עד לרגע שבו התיבה נעצרת, כעבור מטר. נתייחס לשלב השני של תנועת התיבה, ונבחר ציר x שכיוונו החיובי בכיוון תנועת התיבה. x v + v v t 1 + T $ & $ 1. & v 3 1 m/s 1 3 v v + at & a$ 1. & a - 8. ms / 3 1 הערה והארה: חלק גדול מהתלמידים אינם ערים לכך שהתנועה מורכבת משני שלבים, והם מנסים ליישם את נוסחאות הקינמטיקה עבור התנועה במלואה - החל מרגע שהתיבה היתה מונחת במהירות אפס וכלה ברגע עצירתה על פני הרצפה. ברור שהסתכלות כזו אינה יכולה להוביל לפתרון. 37. א. נבחר ציר x שכיוונו החיובי בכיוון תנועת הרכבת, וראשיתו בנקודה שממנה הרכבת יצאה לדרכה. v1 v + at + $ מהירות הרכבת בתום קטע התנועה הראשון: 3 m/s 1.5 משך הבלימה עד לעצירה בקטע התנועה השלישי: v v + at & 3 + (-.5)t & t 1 s t s רגע t של עצירת הרכבת: גרף מהירות-זמן של תנועת הרכבת: v (m/s) t(s) ב. נמצא את המרחק הכללי שעברה הרכבת בשלושת שלבי התנועה, באמצעות חישוב שטח D x 37 (7 + 4)3 7,68m הטרפז המופיע בגרף מהירות-זמן:

26 38. א. מרגע t עד רגע t s התנועה היא שוות תאוצה. לאחר מכן, עד רגע t, 9 s התנועה היא שווה מהירות. לבסוף, מרגע t 9 s עד רגע t 1 s התנועה היא שוות תאוצה. ^a+ bhh ^ h Tx 1,75m ב. המרחק שווה ל"שטח" הטרפז: T x $ 15 ג. המרחק שהמכונית עוברת בקטע התנועה הראשון )שטח משולש(: 15m 1 נחשב, אם כן, כמה זמן נדרש למכונית לעבור בקטע התנועה השני ( 3 m 15 45): Tt Tx 3 s v 15 לכן, המכונית עברה 45 מ במשך 4 s ).( + 18 km 1,m 18 5 m/s 39. מהירות ההמראה של המטוס ביחידה :SI h 3,6s נבחר ציר x שכיוונו החיובי ככיוון תנועת המטוס, וראשיתו בנקודה שממנה המטוס יוצא לדרכו על המסלול. v v + atx & 5 + a$ 5 & a.5 m/s א. 1 v v + a T x & 5 + $ 3$ T x & T x m ב א. האפשרות הנכונה היא )( ב. האפשרות הנכונה היא )4( 41. תרשים הבעיה: תנועה שוות תאוצה תנועה שוות מהירות v 7km/h v 7km/h v x 1 x x בחרנו ציר x שכיוונו החיובי ככיוון תנועת המכונית, וראשיתו בנקודה שבה הנהג קלט אות לעצור. את התנועה הכוללת חילקנו לשני חלקים: 1. מרגע קליטת האות לעצור, עד להפעלת הבלמים. תנועה זו היא שוות מהירות.. מרגע הפעלת הבלמים עד שמכונית נעצרת. תנועה זו היא שוות תאוצה )עם תאוצה שלילית(. 38

27 7 km h 1, m 7 m/s מהירות המכונית ביחידה : SI 3,6s חישוב המקום שאליו מגיעה המכונית בתום קטע התנועה הראשון: x1 x + vt x m v v 1 + atx חישוב מקום העצירה של המכונית: המרחק הכללי שהמכונית עוברת הוא 54 מטר. + ( 5)Dx Dx 4 m Dx x x1 4 x 14 x 54 m 4. א. כן. לדוגמה, כאשר גוף יוצא מנקודה מסוימת וכעבור זמן מה חוזר אליה, הדרך גדולה מאפס, אך גודל ההעתק שווה לאפס. ב. לא. ג. כן. נניח שמכונית נוסעת על כביש ישר ו"מד המהירות" מורה על ערכים הגדלים והולכים. מגדירים ציר מקום שכיוונו החיובי מנוגד לכיוון תנועת המכונית. התרשים שלפניך הוא תרשים עקבות של המכונית, במרווחי זמן. D t ביחס לציר זה המהירות שלילית, וערכיה )עם הסימן האלגברי( הולכים וקטנים )הם מסומנים באיור מעל הציר(. לעומת זאת, ערכיה המוחלטים )מה שמורה מד המהירות( הולכים וגדלים )הם מסומנים באיור מתחת לציר(. v v km/h v - 5 km/h v1-4 km/h 6 km/h v 5 k m /h v 1 4 km/h הוריית מד המהירות : x כאשר המהירות משתנה מ- v ל- v3 למשל, התאוצה )הממוצעת( היא: v3- v -6 -(- 5) a -1 < Tt Tt Tt ד. כן, לדוגמה תנועת הגוף שמהירותו כפונקציה של הזמן מתוארת באיור: v t 1 t ברגע t1 המהירות שווה לאפס )באופן רגעי( אולם התאוצה )שיפוע המשיק לגרף ברגע t1( שונה מאפס. דוגמה אחרת: גוף הנזרק כלפי מעלה - בשיא הגובה המהירות שווה לאפס )באופן רגעי( אולם גודל התאוצה שווה ל- g. 39

28 43. גרפים 1 ו- 3 מייצגים תנועה שוות-מהירות. 44. גרפים ו- 5 מייצגים תנועה שוות-תאוצה. 45. א. תנועת הגוף היא שוות מהירות, כי התבנית המתמטית של נוסחת מקום זמן היא: x x + vt קבועי התנועה: x m ו- v 3 m/s ב. תנועת הגוף היא שוות תאוצה, כי התבנית המתמטית של נוסחת מקום זמן היא: x x+ vt + at a - m/s ; v 1 m/s ; x קבועי התנועה: ג. התנועה היא שוות תאוצה כי התבנית המתמטית של המהירות היא: v v + at a 4 m/s ; v -1 m/ s קבועי התנועה: ד. התנועה היא שוות מהירות. המהירות היא v. 3m/s ה. הגוף נמצא במנוחה בנקודה ששיעורה. x 1m x x vt at + ו. התנועה היא שוות תאוצה, כי התבנית המתמטית היא: + קבועי התנועה: v m/s ; x 4 m ו- a 6 m/s 46. א. "המכוניות נפגשות": נמצאות ברגע מסוים באותו מקום. ב. )1( על-פי ערך t המתאים לנקודת החיתוך של שתי העקומות. )( על-פי ערך t כך שה"שטחים" ש"מתחת" לעקומות מ- t עד רגע t שווים. )3( על-פי חישוב ערך t שעבורו ה- x של המכונית האחת שווה ל- x של המכונית האחרת. )4( על-פי ערך t שעבורו ערכי ה- x שווים. )5( רגע t שבו העקבה של הגוף האחד מתלכדת עם העקבה של הגוף האחר התשובה היא )(4T) (4. הסבר: ברגע t שתי המכוניות נמצאות באותו מקום )כשמכונית המשטרה נחה ולמכונית השנייה מהירות v(. מכונית המשטרה תשיג את המכונית השנייה לאחר ששתיהן תעבורנה דרכים שוות. בהצגה של גרפי מהירות זמן זה יקרה כאשר ה"שטחים" ש"מתחת" לעקומות מהירות זמן יהיו שווים. תנאי זה מתקיים ברגע t 4T )שטחי המשולשים המתאימים שווים(.

29 הערה והארה: חשוב לדעת שתלמידים נוטים לזהות את נקודת החיתוך של גרפי מהירות-זמן כנקודת פגישה של הגופים הנעים. מומלץ לדון עם התלמידים במשמעות נקודה זו. 48. ברגע שהמכוניות חולפות זו על פני זו הן נמצאות כמובן במרחקים שווים מן העיר רחובות. הערה והארה: מטרת התרגיל היא להדגיש את הצורך בהבנה איכותית של תרגילים, לפני שניגשים להתרה מתמטית. 49. נחשב תחילה כעבור כמה זמן הרכבות נפגשות: נגדיר ציר x "צמוד" לאחת הרכבות )שתקרא "הרכבת הראשונה"( כך שכיו ונו החיובי של הציר פונה לעבר הרכבת השנייה, וראשיתו במקום שבו נמצאת הרכבת הראשונה. נוסחת מקום זמן של הרכבת השנייה ביחס לציר היא: x x + vt )א( כאשר,x 8km ו- - 8km/h המפגש לרכבת השנייה x. v )מהירות הרכבת השנייה ביחס לרכבת הראשונה(. ברגע 8+ (- 8)t & t 1h נציב נתונים אלה במשוואה )א(: כלומר הרכבות נפגשות כעבור שעה אחת. בפרק זמן זה הציפור נעה במהירות שגודלה 6, km/h לכן היא עוברת דרך של 6 ק"מ. 5. א. מכונית א נעה ב- 5 השניות הראשונות בתנועה שוות תאוצה, ולאחר מכן בתנועה שוות מהירות. מכונית ב נעה בתנועה שוות תאוצה. ב. נבחר ציר מקום שכיוונו ככיוון התנועה של שתי המכוניות, וראשיתו בנקודה שבה היו שתי המכוניות ברגע.t רגע :t 1 s x x vt )א( at + נוסחת מקום-זמן בתנועה שוות-תאוצה: + קבועי התנועה של מכונית א: x v. ; על-פי שיפוע החלק הראשון של הגרף: 41 a Tv - 4m/s Tt 5- נציב את קבועי התנועה של מכונית א במשוואה )א( עבור רגע t 1 s ונקבל: א x (1s) + + 4$ 1 m קבועי התנועה של מכונית ב: x.v ; a Tv 3-1.5m/s Tt - נחשב את תאוצתה על-פי שיפוע הגרף:

30 ב x (1s) $ 1 מקומה של מכונית ב ברגע t 1 s )על-פי נוסחה )א((:.75 m לכן מקומה של מכונית א ביחס למכונית ב ברגע t: 1s ב,א x א (1 s) x ב x m כלומר ברגע t 1 s מכונית א מקדימה את מכונית ב ב- 1.5 מטר. רגע :t 5 s א x (5 s) + + 4$ 1 מקומה של מכונית א כעבור 5 שניות )הצבה בנוסחה )א((: 5 m ב x (5 s) $ m מקומה של מכונית ב כעבור 5 שניות: מקומה של מכונית א ביחס למכונית ב ברגע t: 5s ב,א x א (5 s) x ב x m ברגע t 5 s מכונית א מקדימה את מכונית ב ב מטר. רגע :t 1 s את מקומה של מכונית א כעבור 1 שניות נחשב על-פי שטח הטרפז במרווח הזמן המתאים: ^1 + 5 h א x (1s) 15 m ב x (1s) $ 75 m את מקומה של מכונית ב כעבור 1 שניות נחשב בעזרת נוסחה )א(: ב,א x א (1 s) x ב x m מקומה של מכונית א ביחס למכונית ב ברגע t: 1s ברגע t 1 s מכונית א מקדימה את מכונית ב ב- 75 מטר. ג. ברור ששתי המכוניות נפגשות ברגע גדול מ- 5 שניות. נסמן רגע זה ב- t. מקומה של מכונית 6 t + ^t- 5h@ $ א x (t) ^t -5h $ 1 א, על-פי שטח טרפז: ב x (t) $ t מקומה של מכונית ב )על-פי נוסחה )א((: 1.5 $ t ^t -5h $ 1 נשווה בין האגפים הימניים של שתי המשוואות האחרונות: לכן: 1 + 4t 1.5t פתרונות המשוואה: t.8 s ; t s הפתרון t אינו מתאים, כי פגישה מתרחשת בזמן הגדול מ- s t, 5 לכן המכוניות נפגשות ברגע.t s 4

31 51. נבחר ציר x שכיוונו החיובי בכיוון תנועת שני כלי הרכב, והראשית שלו במקום ממנו יצא האופנוע לדרכו. x x )א( מכונית + vt & x + 18 t נוסחת מקום-זמן של המכונית: x x v t ב( at & x אופנוע 1 4 t t נוסחת מקום-זמן של האופנוע: $ $ + + רגע המפגש הוא רגע שבו אגף ימין של נוסחה )א( שווה לאגף ימין של נוסחה )ב(: + 18t t פתרונות המשוואה:.t 1 s ; t1 1 s הפתרון t1 אינו מתאים לתנאי השאלה )כי תנועת האופנוע מתחילה ב- t(, לכן האופנוע משיג את המכונית ברגע t. 1 s 5. א. ו- ב.: להלן הטבלה עם תוצאות חישוב המהירויות: v (m/s) מהירות (m/s) v מקום (m) x v 5t +. זמן (s) t גרף מהירות-זמן של הקרונית: t(s) ג. תאוצת הקרונית קבועה. היא מיוצגת על ידי שיפוע הקו. על פי משוואת הישר שהתקבלה מהגיליון האלקטרוני השיפוע הוא 5 m/s וזו תאוצת הקרונית. 43

32 53. ה"פטיש" של רשם הזמן הקיש פעמים רבות על הנקודה המסומנת באיור כ-" ". ברגע מסוים t הגוף יצא לדרכו. אילו בדיוק ברגע t "הפטיש" הקיש בנקודה "", אז מרווח הזמן בין הקשה זו לבין ההקשה בנקודה 1 אכן יהיה בדיוק. שנייה. אבל אילו ברגע t "הפטיש" היה לדוגמה בשיא המרחק מסרט הנייר, אז מרווח הזמן בין רגע t )יציאת הגוף לדרכו( להקשה בנקודה 1 יהיה רק.1 שנייה )מחצית מ-. שנייה(. באופן כללי, כאשר הגוף יוצא לדרכו הפטיש נמצא במקום אקראי, ולכן פרק הזמן מרגע יציאת הגוף לדרכו לבין ההקשה בנקודה 1 הוא אקראי, ויכול להיות כל ערך גדול מאפס וקטן או שווה ל-. שנייה. הערה והארה: האמור לעיל לגבי מרווח הזמן בין הנקודה לבין הנקודה 1 תקף לא רק לגבי רשם-זמן אלא גם לגבי אמצעים אחרים לדגימת תרשים עקבות, כגון מצלמת ווידאו או מעבדה ממוחשבת. 54. פתרון ביחס לציר מקום שכיוונו החיובי כלפי מעלה, וראשיתו בגובה פי הבאר: y y v t )א( at ( 1) $ m פתרון ביחס לציר מקום שכיוונו החיובי כלפי מטה, וראשיתו בגובה פי הבאר: y $ 4 8 m נציב מספרים במשוואה )א(: נקודה ששיעורה (8 ) מטר ביחס לציר הראשון זהה לנקודה ששיעורה 8 מטר ביחס לציר השני. הערה והארה: חשוב לפתור את השאלה ביחס לציר מקום שכיוונו החיובי כלפי מעלה, וגם ביחס לציר מקום שכיוונו החיובי כלפי מטה, כנדרש בגוף השאלה. לתלמיד שמתקשה, מומלץ לפתור גם חלק מהשאלות האחרות ביחס לצירים שונים. בספר "מכניקה ניוטונית - פעילויות (לכרכים א ו-ב)", בפרק א, יש פעילות מומלצת בהקשר זה - פעילות מספר 11 "סימני המקום, המהירות והתאוצה". 44

33 55. תרשים הבעיה: B y(m) 5 v o A C לתרשים הבעיה צרפנו ציר y שכיוונו החיובי כלפי מעלה, וראשיתו בנקודת הזריקה A של הגוף. שיעורה של הנקודה B, המציינת את שיא הגובה, הוא 5 מטר. ל- B. עבור קטע התנועה מ- A v א. ניישם את הנוסחה v + aty v + ( - 1) $ (5 - ) & v ± 1m/s המהירות בנקודה B היא v, לכן: רק הפתרון החיובי מתאים לבעיה. כלומר יש לזרוק את הגוף במהירות שגודלה 1 מטר לשנייה כלפי מעלה. הערה והארה: תלמידים נוטים לזהות את המושג "נפילה חופשית" רק עם תנועת גוף ששוחרר ממנוחה. מומלץ להפנות את תשומת ליבם לאיור 47 בעמוד 63 בכרך א. בנוסף לכך, מומלץ לחקור, למשל באמצעות מצלמת וידאו, את תנועתו של גוף שנזרק כלפי מעלה, ואחר-כך יורד. ב. נוכל לרשום נוסחה לגבי התנועה מ- A ל- B ולחשב את משך העליה, ולאחר מכן לחשב את משך הירידה מ- B ל- C, ולבסוף לחבר זה לזה שני פרקי זמן אלה. y y vt at + נפתור את השאלה בדרך אחרת; נשתמש בנוסחה: + ( 1)t + 1t + - לגבי התנועה מ- A עד C )יודעים ש- y וגם y ) : פתרונות המשוואה: t1 ; t s הפתרון t1 מתאים לרגע הזריקה, ולכן אינו עונה על השאלה. לכן, הגוף יחזור לידיו של הזורק כעבור שניות. 45

34 56. נבחר ציר y שכיוונו החיובי כלפי מעלה, וראשיתו בגובה גג הבניין. א. את מהירותו של הגוף נחשב בעזרת הנוסחה: v v + at 3 1t ואת מקומו של הגוף נחשב בעזרת הנוסחה: y y vt at + + 3t - 5t תוצאות החישובים לגבי ששת הרגעים המבוקשים מוצגות באיור שמשמאל. מן האיור אפשר לזהות סימטריה: ברגעים t ו- t 6 s הגוף נמצא באותו מקום, ויש לו אותו גודל מהירות )המהירויות מנוגדות בכיוונן(. כך גם ברגעים t 1 s ו- t 5 s וברגעים t s ו-. t 4 s כמו כן אפשר לראות כי משך העליה של הכדור מן הגג עד שיא הגובה שווה למשך ירידתו משיא הגובה עד גובה הגג. y y v t )ב( at + + ב. ניישם את הנוסחה: + 3t 5t 8 )ג( לגבי התנועה הכוללת, מן הגג עד לקרקע: פתרונות המשוואה: t 8 s ; t1 s הפתרון t1 s אינו מתאים לנתונים בשאלה. הכדור מגיע לקרקע 8 שניות לאחר זריקתו. ג. גרף מהירות-זמן של תנועת הכדור: y(m) t3s v 45 t4s 4-1m/s 5 t5s -m/s 1m/s ts m/s t1s v 3m/s t t6s -3m/s -8 v(m/s) t(s) ד. נשתמש שוב בנוסחה )ב(, אלא שבמקום להציב v 3+ m/s )ראה נוסחה )ג((, נציב בה 3t 5t :v 3 m/s 8 46

35 פתרון המשוואה המתאים לתנאי השאלה:. t s כלומר, הכדור היה מגיע לקרקע כעבור שניות, אילו הוא היה נזרק כלפי מטה. פרק א הערה והארה: הכדור שנזרק במהירות שגודלה 3 m/s כלפי מעלה חזר למקום הזריקה אחרי 6 שניות במהירות שגודלה 3 m/s כלפי מטה, לכן מפתרון סעיף ב אנו מבינים שנדרשו עוד שניות להגיע לקרקע. כך בדיוק נובע גם מסעיף ד. 57. תרשים הבעיה: y v -v פני המים -h -v באיור סימנו ציר y שראשיתו במקום שממנו נזרקו שני הכדורים. נסמן ב- h את הגובה שממנו נזרקו הכדורים מעל פני מי הנהר. שיעור המקום של פני מי הנהר, ביחס לציר ה- y, הוא h-. סימנו את מהירות הכדור שנזרק כלפי מעלה ב- v, לכן מהירות הכדור שנזרק כלפי מטה היא v v + aty נשתמש בנוסחה: v v + ( -1) $ (- h) לגבי הכדור שנזרק כלפי מעלה: 1 v `-v j + ( -1) $ (- h) לגבי הכדור שנזרק כלפי מטה: v 1 v משתי המשוואות האחרונות נובע כי: פתרונות המשוואה: v1 v ; v1 v הפתרון המתאים לתנאי השאלה הוא v1, v כלומר הכדורים פוגעים בפני המים במהירויות שוות. הערה: פתרון חלופי: v1 v על סמך פתרון תרגיל 56 א. 58. אילו היינו משחררים את האבן מגובה h, משך הנפילה היה קטן מ- t. א. הסבר מילולי: כאשר גוף משוחרר מגובה h, משך זמן הנפילה לאורך הקטע הראשון, השווה באורכו ל- h, הוא t. בקטע השני של התנועה האבן נופלת באותה תאוצה (g) כמו בקטע 47

36 הראשון, כמו כן היא נופלת לאורך אותו מרחק (h), אולם המהירות ההתחלתית בקטע השני גדולה מ- בעוד שבקטע הראשון היא שווה לאפס. לכן משך התנועה בקטע השני יהיה קטן מ- t, והזמן הכולל יהיה קטן מ- t. ב. הסבר אלגברי: נבחר ציר מקום שכיוונו החיובי כלפי מטה. x x vt )א( at + + בתנועה שוות תאוצה: gt 1 h )ב( נרשום את )א( לגבי הנפילה מגובה h: gt h )ג( נרשום את )א( לגבי הנפילה מגובה h: t t1 <t1 מ- )ב( ומ- )ג( ג. הסבר בעזרת ייצוג גרפי: נסרטט גרף מהירות-זמן של גוף המשוחרר ממנוחה ונופל חופשית מרגע אפס )השחרור( עד רגע t. v A A 1 t t t שטח המשולש A1, שבסיסו מתחיל מנקודה ששיעורה אפס ומסתיים בנקודה ששיעורה t, שווה ל- h. שטח הטרפז שבסיסו מתחיל בנקודה ששיעורה t, ומסתיים בנקודה ששיעורה t גדול מ- h )כי השטח A של המשולש העליון, שהוא חלק מן הטרפז, שווה ל- h ( כלומר במשך פרק זמן t הגוף נופל מרחק העולה על h, לכן נפילה לאורך h תמשך פרק זמן קצר מ- t. 59. נבחר ציר x שראשיתו בגובה הגשר, וכיוונו החיובי כלפי מעלה. נוסחת מקום-זמן של האבן: y y vt )א( at + + ( 1) $ א. נציב מספרים ב- )א(: v $ 4 - פתרון המשוואה: v. m/s כלומר: אם האבן פגעה בפני המים כעבור ש, אז היא נזרקה במהירות מטר לשנייה כלפי מטה. 48

37 (- 1) $ 4-4 v $ 4+ ב. נציב מספרים ב-)א(: פתרון המשוואה: v. 14 m/s כלומר, אם האבן פגעה בפני המים כעבור 4 ש, אז היא נזרקה במהירות שגודלה 14 מטר לשנייה כלפי מעלה. 6. א. הטיל מגיע לשיא הגובה ברגע t. 4 s עד רגע זה המהירות היא חיובית, כלומר הטיל עולה. ברגע t 4 s המהירות שווה לאפס, ולאחר רגע זה המהירות שלילית, כלומר הטיל יורד. הערה והארה: תלמידים נוטים לזהות את הנקודה על העקומה המתאימה ל- t 1s כנקודה שהטיל מגיע לשיא הגובה. טעות זו נובעת מבילבול בין שיא הגובה שאליו מגיע הטיל בתנועתו במציאות, לבין נקודת המקסימום של הגרף המהווה ייצוג של המהירות המרבית. ג. את הגובה המרבי אפשר לחשב על-פי ה"שטח" ש"מתחת" לגרף, מרגע t עד רגע t: 4 s T x 4 $ 3 6, m ד. הטיל נפל חופשית מגובה 6, מטר. לגבי התנועה משיא הגובה עד הקרקע, ביחס לציר v v + a y מקום המצביע כלפי מטה, מתקיים הקשר: הטיל פוגע בקרקע במהירות שגודלה כ- 346m/s וכיוונה מטה. D v + 1 6, v!346 m/s x(cm) א.ו- ב. טבלת מקום-זמן וגרף מקום-זמן של תנועת הגוף: מקום (cm) זמן (s) נקודה A A 4..1 A A4 1.. A5.3.4 t(s) A A7 49

38 ג. הטבלה בתוספת ערכי המהירויות: מהירות (cm/s) מקום (cm) זמן (s) נקודה A A A A A A6 A7 כדי לחשב את המהירות ברגע t.15 s לדוגמה, חישבנו את המהירות הממוצעת החל מרגע v v s..1s. s - " 8 cm/s :t. s עד רגע t.1 s. -.1 כלומר מעריכים את המהירות ברגע מסוים על-ידי חישוב המהירות הממוצעת מנקודה שלפני הנקודה הנוכחית, עד נקודה שאחרי הנקודה הנוכחית. לא ניתן לחשב )בקירוב טוב( את מהירות הגוף בנקודה A1 כי אין מידע לגבי נקודה שלפניה. לא ניתן לחשב )בקירוב טוב( את מהירות הגוף בנקודה A7, כי אין מידע לגבי נקודה שאחריה. ד. גרף מהירות זמן של תנועת הגוף: v (cm/s) t(s) ה. גרף מהירות-זמן הוא לינארי, מכאן נסיק שתאוצת הגוף קבועה. התאוצה שווה לשיפוע a cm/s m/s הגרף: v v + 4t )א( ו. נוסחת מהירות-זמן של הגוף: v 6 cm/s.6 m/s ברגע t.1 s מהירות הגוף היא v v. m/s.6 נציב נתונים אלה בקשר )א(: זו המהירות בנקודה. A1 5

39 שים לב, אפשר למצוא את המהירות ההתחלתית )ברגע t) גם על פי גרף מהירות-זמן שלמעלה. נוסחת מהירות-זמן היא, אם כן: v. + 4 t )ב( כדי למצוא את המהירות בנקודה A7, נציב בקשר )ב( t.3 s ונקבל: גם את המהירות הזו אפשר למצוא ישירות בעזרת הגרף. v m/s 6. תרשים הבעיה המתאים לרגע t )הרגע שבו הגופים נזרקו( מופיע בסוף התשובה לסעיף א. נגדיר ציר y שכיוונו החיובי כלפי מעלה, וראשיתו בקרקע, כמתואר בתרשים הבעיה שלהלן. y y t )א( at + v + א. נוסחת מקום זמן בנפילה חופשית: ^ 1 t ב y )ב( 3 - t + - h נציב במשוואה )א( ערכים מספריים לגבי כדור ב: נציב במשוואה )א( ערכים מספריים לגבי כדור א : ^-1ht א y )ג( + 4t + v -, m/s 3 ב y 3 m v, א 4 m/s א y, ב y רגע המפגש של שני הכדורים הוא הרגע t שעבורו כלומר: 3 t 5t 4t 5t פתרון המשוואה: t 5 s ב. כדי למצוא את מקום המפגש, נציב את רגע המפגש (s t) 5 בנוסחה )ב( )אפשר גם ב- )ג((: ב y (5 s) 3-$ 5-5$ 5 75 m ג. כדי לדעת מהו כיוון תנועתו של כדור א נחשב את מהירותו )ביחס לציר שבחרנו( ברגע א v v, א + at :t 5 s 51

40 א v (5 s) 4 + ( 1) 5 1 m/s ברגע המפגש מהירותו של כדור א היא שלילית ביחס לציר שבחרנו, לכן ביחס לציר זה כדור א נמצא בדרכו מטה. הערה והארה: אפשר לפתור את התרגיל גם ביחס לציר מקום הצמוד לכדור א. במקרה זה, גודל המהירות ההתחלתית של כדור ב הוא 6 מטר לשנייה בכיוון מטה, וגודל תאוצתו. 63. א. נבחר t ברגע שבו האבן הראשונה שוחררה מראש הצוק. נבחר ציר y שכיוונו החיובי כלפי מטה וראשיתו בגובה הצוק. y y v t )א( at + נוסחת מקום-זמן בנפילה החופשית: + א y )ב( + + 1t עבור האבן הראשונה: 1(t - 1) )ג( ב y + 1(t- 1) + נוסחת מקום-זמן של האבן השנייה )על-פי קשר )א((: 1t 1(t - 1) 1(t - 1) + א : y ב y שתי האבנים נפגשות ברגע t שבו פתרון המשוואה: t. 3.5 s כלומר האבנים נפגשות 3.5 שניות לאחר זריקת האבן הראשונה, או.5 שניות לאחר זריקת האבן השנייה. ב. כדי לחשב את המקום שבו האבן השנייה משיגה את הראשונה נציב 3.5 s א y t 1 $ m בנוסחה )ב(: כלומר האבן השנייה משיגה את הראשונה במרחק 61.5m מתחת לראש הצוק. 64. נגדיר ציר מקום, x, שכיוונו החיובי כלפי מעלה, וראשיתו בגובה הקרקע. נגדיר ציר זמן שראשיתו ברגע שבו נזרק כדור א. נסמן: א, v ו- ב, - v המהירויות ההתחלתיות של כדורים א ו-ב בהתאמה. א y )א( y, +א v, tא 1 at 1t 1 ( א. נוסחת מקום-זמן של כדור א: t( נוסחת מקום-זמן של כדור ב: ב y )ב( y, +ב v, tב + 1 at + 15(t - 1) + 1 ( - 1)(t- 1) הגופים נפגשים ברגע t שבו אגף ימין של קשר )א( שווה לאגף ימין של קשר )ב(. 1t )ג( 1 ( 1)t 15(t - 1) (-1)(t- 1) & t 1 1 s 3 א v v, +א at 1 + (- 1) ב. נחשב את מהירות כדור א ברגע המפגש: m/s

41 מהירות כדור א ברגע המפגש שלילית, מכאן שברגע זה הוא נע בכיוון מנוגד לכיוון החיובי של ציר y, כלומר כלפי מטה. ג. כדור ב נזרק שנייה לאחר כדור א, מכאן שחלפה רק 1/3 שנייה עד רגע המפגש עם כדור א. ב v v, ב + at 15 + ( - 1) 1 11 נחשב את מהירות כדור ב ברגע המפגש: m/s 3 3 מהירות כדור ב ברגע המפגש חיובית, מכאן שברגע זה הוא עדיין נע כלפי מעלה. v(3) - v() (3 -) -( - ) ar 5m/s s 3s 65. א. חישוב התאוצה הממוצעת: " 3-3- ב. חישוב התאוצה הרגעית: a lim v(+ Dt) -v() lim 6( + Dt) -@ -6 lim D t " t t " t t " (4 t) D D D D + D a 4m/s 66. א. מרגע t עד רגע t.8 s בערך, השחיין מחליק על פני המים מבלי להניע את ידיו ורגליו. בקטע זה מהירותו בקירוב קבועה. מרגע t.8 s עד רגע t. s בערך, ה שחיין דוחף את המים לאחור עם ידיו, ומהירותו גדלה מעט. מרגע t. s עד רגע t.58 s ה שחיין מקפל את רגליו מהירותו קט נה עד אפס בערך. מרגע t.58 s עד רגע t.8 s הוא מיישר את ידיו ואת רגליו. בפרק זמן זה מהירותו גד לה. מרגע t.8s עד רגע 1. s בלי תנועה, ומהירותו קטנה בגלל התנגדות המים. t הוא מחליק במים ב. תאוצתו של השחיין היא מרבית בערך במרווח הזמן מ- t.66 s עד t.7 s התאוצה a Tv m/s Tt הממוצעת במרווח זמן זה: ג. תאוצת השחיין מתאפסת ברגעים: t,.19 s,.58 s,.8 s כי ברגעים אלה המשיק לעקומה מקביל לציר הזמן. ד. הגרף: a t(s) ה. "מתחת" לעקומה יש כ- 69 משבצות. "שיטחה" של כל משבצת מייצג מרחק של. מטר. לכן ה"שטח" שמתחת לעקומה מייצג מרחק של 1.38 m

42 נער. x שיעור הנקודה שבה נמצאת הנערה הוא 67. א. )1( שיעור הנקודה שבה נמצא הנער הוא 8 m נערה. x m נערה, נער x נער x x נערה 1 m ( ) 8 () מקום הנער ביחס לנערה: נער, נערה x נערה x x נער 1 m 8 (3) מקום הנערה ביחס לנער: נערה, נער x נער, נערה x 1 1 m (4) המרחק בין הנער לנערה: ב. אם הראשית תועתק למקום אחר על השביל, תשובה א )1( תשתנה. 68. א. מהירות האופניים ביחס לכביש היא 4 מ \ש, ומהירות המכונית )ביחס לכביש( היא 1 מ \ש. ב. מהירות הכביש ביחס לציר מקום "צמוד" לרוכב האופניים היא (4 ) מ \ש, ומהירותו ביחס למכונית היא (1 ) מ \ש. ג. העתק המכונית במשך 5 ש ביחס לציר מקום "צמוד" לאופניים הוא 3 מ ומהירותה ביחס לציר זה היא 6 מ \ש. ד. העתק האופניים במשך 5 ש ביחס לציר מקום "צמוד" למכונית הוא (3 ) מ \ש ומהירותם ביחס לציר זה היא (6 ) מ \ש. ה. רוכב האופניים "רואה" את המכונית נוסעת בכיוון החיובי, ונהג המכונית "רואה" את רוכב האופניים נוסע בכיוון השלילי. 69. א. תרשים הבעיה: v ב, ג - km/h v א 8 km/h v ב 9 km/h ב,ג v כביש,ג v כביש,ב v כביש,ג v & כביש,ג & v 9 7 km/h מהירותה של מכונית ג ביחס לכביש הוא 7 ק"מ לשעה. ב. הצופה במכונית א "רואה" את מכונית ב נוסעת במהירות 1. km/h המהירות חיובית לכן המהירות של מכונית ב ביחס למכונית א היא בכיוון החיובי. א,ג v כביש,ג v כביש,א v km/h ג. הצופה במכונית א "רואה" את מכונית ג נוסעת בכיוון השלילי, במהירות (1 ). km/h 54

43 7. א. נגדיר ציר מקום ה"צמוד" לזורק, וכיו ונו החיובי כלפי מעלה. האבן משנה את כיו ון תנועתה ביחס לזורק ברגע שבו מהירותה ביחס לזורק מתאפסת )הסבר: לפני כן מהירות האבן חיובית כלומר האבן עולה, ואחרי כן המהירות שלילית כלומר היא יורדת(. האבן נעה ביחס לציר בתנועה שוות תאוצה, לכן: v v + at )א( נציב בנוסחה )א( את הגדלים המתאימים לתנועת האבן מרגע הזריקה ועד להתאפסות המהירות: 4 + ( 1)t t 4 s כלומר: מנקודת רא ות של הזורק האבן מגיעה ל שיא הגובה כעבור 4 שניות. ב. האבן משנה את כיו ון תנועתה ביחס לצופה בכדור הפורח ברגע שבו מהירותה ביחס לצופה זה מתאפסת. נגדיר ציר מקום ה"צמוד" לצופה בכדור הפורח, וכיו ונו החיובי כלפי מעלה. האבן נעה ביחס לציר זה בתאוצה קבועה שגודלה g. נציב בנוסחה )א( את הגדלים המתאימים לתנועת האבן מרגע 3+ (- 1)t & t 3s הזריקה ועד שמהירותה ביחס לציר מתאפסת: כלומר: מנקודת רא ות של הצופה בכדור הפורח האבן מגיעה ל שיא הגובה כעבור 3 שניות. נוכל לענות על סעיף )ב( גם ללא שימוש מפורש בנוסחה: ברגע t מהירות האבן ביחס לצופה בכדור הפורח היא 3. m/s בכל שנייה מהירות האבן קט נה ב- 1, m/s לכן כעבור שנייה אחת מהירותה, m/s כעבור שתי שניות - m/s 1, וכעבור 3 שניות מהירות האבן מתאפסת ביחס לצופה בכדור הפורח. הערות והארות: בשנייה הרביעית לתנועתה האבן אמנם עולה ביחס לארץ, אולם מהירותה ביחס לארץ קטנה מ- 1. m/s הכדור הפורח לעומת זאת עולה ביחס לארץ במהירות שגודלה, 1 m/s כלומר האבן נעה ביחס לכדור הפורח במהירות שלילית, כלומר היא יורדת ביחס אליו, למרות שהיא עולה ביחס לארץ. התשובה לסעיף ב אינה תלויה בשאלה אם הכדור הפורח נע מתחת לאבן או מעליה. מומלץ ללבן נקודה זו. 71. נגדיר ציר מקום, y, ה"צמוד" לקרקע שכיוונו החיובי כלפי מעלה. המהירויות ההתחלתיות של ב, v בהתאמה. א, v ו- / ms - 1 כדורים א ו-ב ביחס לציר y מסומנות ב- / ms 3 את הראשית של ציר המקום *y ה"צמוד" לכדור א נגדיר במקום הימצאו של כדור א. תאוצת כדור ב ביחס לכדור א )ליתר דיוק ביחס לציר המקום *y הצמוד לכדור א( א,ב a ב a א a- -1 -(- 1 ) היא: א. כפי שראינו למעלה, התאוצה היחסית בין שני הכדורים היא אפס. כלומר המהירות של כדור ב ביחס לציר מקום הייצמוד" לכדור א היא גודל קבוע. לכן נוכל לחשב אותה עבור רגע t. אם כן, מהירות כדור ב ביחס לציר *y הצמוד לכדור א: 55

44 א,ב v v, -, ב v -( 1 -א + 3) -4 m/s ב. נפתור ביחס לציר *y. ב *y y *, +, ב v t 1 at ב + - 4t + נוסחת מקום-זמן של כדור ב: ב * )y יהיה : שני הכדורים א ו- ב ייפגשו כאשר מקום גוף ב, ביחס לציר * y )כלומר - 4 t& t 5s ג. לפניך גרף של המקום של כדור ב ביחס לציר מקום * y ה"צמוד" לכדור א, כפונקציה של הזמן. הגרף מתאים לפרק הזמן מרגע זריקתם של שני הכדורים עד פגישתם: * y (m) ב t (s) 7. תרשים הבעיה: t חיפה t 6 km/h משאית.5 h אופנוע 1 km/h x נבחר ציר מקום שכיוונו החיובי הוא ככיוון התנועה המשותף, וראשיתו בנקודת המוצא של כלי הרכב, כלומר בחיפה. נגדיר ציר זמן שראשיתו ברגע צאתה של המשאית לדרך. א. נוסחת מקום-זמן של המשאית )ביחס לצירי המקום והזמן שבחרנו(: xמשאית x + vt משאית )א( x 6 t נוסחה )א( מתארת את מקום המשאית בכל רגע ורגע )החל מרגע t(. כאשר t נמדד בשעות ו- x בק"מ. x x + v D t אופנוע ב. נוסחת מקום-זמן של האופנוע: אופנוע )ב( x 1(t 1 ) 56

45 .)t 1 נוסחה )ב( מתארת את מקום האופנוע בכל רגע ורגע )החל מרגע h פרק א משאית, כלומר יש אופנוע x ג. כדי לקבוע מתי כלי הרכב נפגשים, יש לקבוע מהו הרגע t שבו x 1 t 1 ` - 6t j לחשב מהו ערכו של t המקיים את השוויון: t 1.5 h פתרון המשוואה: כלי הרכב נפגשים ברגע t, 1.5 h כלומר 1.5 h לאחר צאת המשאית לדרכה )h.75 לאחר צאת האופנוע(. הערות והארות: 1. ניתן להגדיר את t ברגע שבו האופנוע יוצא לדרכו, ואז מתקבל כי המפגש מתרחש ברגע t.75 h (כלומר.75 h לאחר צאת האופנוע, או 1.5 h לאחר צאת המשאית).. על בסיס לימודיהם בשיעורי אלגברה, יש תלמידים שפותרים שאלה זו באופן הבא: 1 t ומתקבל 1 ` - 6t הדרכים שעברו באופנוע והמשאית שוות, לכן: j הפתרון: t 1.5 h יש בהחלט להעדיף דרך פתרון שבה רושמים תחילה את נוסחת מקום זמן של כל כלי רכב בנפרד, ורק אח"כ משווים, תוך הנמקה. x 1 t 1 אופנוע ` km j ` ד. נציב בנוסחה )א(: j מקום האופנוע מייצג את מרחק נקודת הפגישה מחיפה. x(km) ה. פתרון בדרך גרפית: נקודת החיתוך של שני הישרים בגרף מייצגת את מפגש כלי הרכב, כי בעזרת השיעורים שלה אפשר לדעת באיזה רגע היו שני כלי הרכב באותה קואורדינטה. מהגרף עולה כי המפגש התרחש ברגע t, 1.5 h בקואורדינטה 75 ק"מ, כלומר במרחק 75 ק"מ מחיפה. משאית אופנוע t(h) 57

46 73. א. השנייה החמישית היא פרק הזמן מ- t 4 s עד t. 5 s בפרק זמן זה הגוף עובר 36 מטר. ב. נבחר ציר x שכיוונו החיובי ככיוון התנועה, וראשיתו בנקודה שממנה הגוף החל לנוע. t t1s ts t3s t4s t5s t6s x36m x(m) תרשים הבעיה: השנייה החמישית נחשב תחילה את תאוצת הגוף. x x vt )א( at + + בתנועה שוות תאוצה: x(5) )ב( a$ 5 יישום משוואה )א( עבור התנועה מרגע t עד רגע : t 5 s x(4) )ג( a$ 4 יישום משוואה )א( עבור התנועה מרגע t עד רגע t: 4 s x(5) - x(4) a$ 5 - a$ 4 נחסיר את משוואה )ג( ממשוואה )ב( ונקבל: 4.5a a 8 m/s 36 אגף שמאל שווה ל- 36 m לכן: בתנועת שוות תאוצה: v v + at )ד( משוואה )ד( לגבי התנועה מרגע t עד רגע v m/s :t 1 s 74. א AC / Dt מבטא את המהירות הממוצעת של הגוף בתנועתו מ- A ל- C )למען הדיוק - מן הרגע שבו נרשמה הנקודה A על סרט הנייר עד לרגע שבו נרשמה עליו הנקודה C(. נסמן מהירות _ זו ב-.vA" C ב. )1( נניח כי העקומה המופיעה באיור א שלהלן מתארת את מקום הגוף כפונקציה של הזמן. C ו- B, A נרשמו בהתאמה הנקודות )t C t B t B t A Dt )המקיימים t C,t B ו-, t A ברגעים.x C x B ו-, x A על סרט הנייר, ושיעוריהן בהתאמה הם x d x x C x B b C m c x A A B t A t B t C t x C x B xa C A B t A t t B t t C b x C - x A t איור א איור ב 58

47 .v _ A" C ביטוי זה מייצג כאמור את (x C x A שיפועו של המיתר b )איור א( שווה ל- )/Dt פרק א נתאר עתה בדמיוננו שאנו מסרטטים בזה אחר זה משיקים לעקומה שבאיור א לעיל בכל :t C t, A וכלה בנקודה המתאימה ל- הנקודות החל מנקודה המתאימה לרגע t A )משיק c באיור ב( קטן משיפוע מיתר b, כלומר המהירות שיפוע המשיק המתאים לרגע A _ 1 va" C מקיימת A של הגוף בנקודה,v A הרגעית,. v ככל שנקודת ההשקה נמצאת ימינה t C שיפוע המשיק )d( גדול שיפועי המשיקים הולכים וגדלים )כך באיור הספציפי ב(. ברגע משיפוע המיתר b. שיפועי המשיקים הולכים וגדלים מערך קטן מ- v A " C ב- A לערך גדול מ- v A " C ב- C. כיוון שהשיפועים משתנים באופן רציף חייבת להיות נקודה )לפחות אחת( שבה שיפוע המשיק _ שווה בדיוק ל- v. A " C משיק זה מתואר באיור ב ב- m. כלומר: כשגוף נע לאורך קו ישר, בין שתי נקודות חייבת להיות נקודת ביניים שבה המהירות הרגעית שווה בדיוק למהירות הממוצעת בין שתי הנקודות. _ ברגע שחישבנו את המהירות הממוצעת v A " C מובטח לנו, אם כן, שקיימת נקודה שבה המהירות הרגעית שווה בדיוק למהירות ממוצעת זו. אם המהירויות בקטע AC משתנות במידה קטנה, _ אזי המהירויות הרגעיות בנקודות השונות בקטע שוות בקירוב למהירות הממוצעת, v A " C ונוכל לייחס אותה לכל נקודה שנבחר בקטע. )( הקירוב מוצדק אם פרק הזמן שבו הגוף חולף את הקטע AC הוא קצר, כך שהמהירויות הרגעיות בקירוב אינן משתנות. ככל שפרק הזמן קצר כך גם ההבדלים במהירויות הרגעיות ע שויים להיות קטנים יותר. )3( נסביר זאת לגבי המקרה שבו מהירות הגוף הולכת וגדלה באופן מונוטוני, כמתואר באיור א t. C לכן, הקירוב t B ל- t B קטנה מזו שבכל אחד מהזמנים שבין שבתשובה: המהירות הרגעית ב- שבו מייחסים את המהירות הממוצעת ב- BC לנקודה B הוא קירוב גס. לעומת זאת, אם מסתכלים על כל הקטע,AC רואים כי בחלק BC המהירויות גדולות מזו שב- B, ובקטע AB הן קטנות מזו שב- B. לכן, הקירוב שבו מייחסים את המהירות הממוצעת ב- AC ל- B הוא קירוב פחות גס. ג. )1( נניח כי גוף נע בתאוצה קבועה a מנקודה A לנקודה C, בפרק זמן שיסומן ב-.Dt נסמן ב- B את הנקודה שאליה הגוף מגיע כעבור מחצית הזמן, כלומר כעבור זמן Dt )איור ג(. נגדיר ציר x שכיוונו החיובי ככיו ון התנועה, וראשיתו בנקודה A. נגדיר t ברגע שבו הגוף.v B חולף בנקודה A. המהירות הרגעית ב- A תסומן v וזו ב- B תסומן 59

48 v t v B A B C t יש להוכיח כי: x t איור ג v AC v B )א( v )ב( TxAC AC Tt x v t at T התנועה היא שוות תאוצה לכן נוכל להשתמש בקשר: + a(tt) v $ Tt + v AC v a t v Tt + T B נציב קשר זה בקשר )ב(: בזאת הוכחנו את קשר )א(. )( מקומו של גוף הנע בתאוצה קבועה כפונקציה של הזמן נתון על-ידי הקשר: לכן עקומת מקום-זמן היא פרבולה. x x + vt+ at t C אזי המהירות הרגעית ב- t A ל- t B הוא אמצע פרק הזמן שבין על-פי סעיף ג )1( אם רגע t. C המשמעות הגאומטרית היא: t A עד רגע t B שווה למהירות הממוצעת בתנועת הגוף מרגע אמנם, בתנועה שלא ידוע עליה שהיא שוות תאוצה מובטח לנו שיש במרווח הזמן רגע שבו שיפוע המשיק שווה לשיפוע המיתר )אך לא נוכל לדעת דבר מעבר לכך, ללא מידע נוסף(. אולם, אם התנועה שוות תאוצה מקומה של הנקודה ידוע שיפוע המיתר שווה בדיוק לשיפוע במשיק בנקודה הנמצאת באמצע מרווח הזמן. הערה והארה: אפשר היה להוכיח את ג (1) על-פי התכונה הגאומטרית )אלא שאז סעיף ג () מתרוקן מתוכנו(. משפט מתמטי: נתונה פרבולה שמשוואתה y, Ax + Bx + C ושתי נקודות x1 ו- x על הציר האופקי. שיפוע המיתר המחבר את שתי הנקודות על הפרבולה ששיעוריהן x1 ו- x שווה לשיפוע המשיק לפרבולה בנקודה ששיעורה האופקי xv נמצא באמצע בין x1 ל- x. נוכיח את המשפט: Ax ^ Bx C Ax 1 Bx h - ^ + + C h השיפוע S של המיתר: x - x S y x - y - x 1 1 A^x - x1h + B(x- x) 1 x - x 1 1 A(x + x ) + B 1 6

49 x1+ x xv על-פי הגדרת נקודת אמצע: y Ax + Bx + C נחשב את שיפוע המשיק לפרבולה בנקודה : xv Ax + B y הנגזרת: x + x y' ^xvh AxV + B A y' ^V h Ax ^ + x h + B x B y' ^xv h S לכן: המשמעות הפיזיקלית: בתנועה שוות תאוצה המהירות הממוצעת בין שתי נקודות שווה בדיוק למהירות הרגעית באמצע מרווח הזמן שבין שתי הנקודות. )3( כאשר מחשבים מהירות רגעית בתנועה שוות-תאוצה באמצעות נקודות המסומנות על סרט נייר, אפשר לקחת למשל חמישה פרקי זמן לפני רגע t וחמישה פרקי זמן אחרי רגע t לחשב את המהירות הממוצעת. בחישוב כזה השגיאה היחסית במדידת ההעתק תהיה קטנה מאשר.t + t עד בחישוב המהירות הממוצעת מ- 75. א. גרף המתאר את התאוצה a כפונקציה של הזמן t: a(m/s ) t(s) ב. הגוף נמצא במרחק מרבי ימינה מ- A ברגע t. 7 s הסבר: ב- 7 השניות הראשונות הגוף נע ימינה, ועובר העתק, שנקרא לו "העתק 1". מ- t 7 s עד t 1 s הגוף נע שמאלה, ועובר "העתק ", ומ- t 1 s עד t 11 s הגוף נע שוב ימינה, ועובר "העתק 3". העתק 3 קטן מהערך המוחלט של העתק, לכן מ- t 7 s עד t 11 s הגוף העתיק עצמו שמאלה. מכאן שברגע t 7 s הוא היה במרחק מרבי ימינה מ- A. 61

50 r, max ימינה מ- A שווה לשטח הטרפז שתחום בין העקומה לבין ציר הזמן ג. המרחק המרבי, r max m מ- t עד :t 7 s ד. מרחק הגוף, r, מהנקודה A ברגע t 1 s שווה לשטח המשולש הכלוא בין העקומה לציר הזמן r 1$ m מ- t עד. t 1 s ה. ברגע t s מרחק הגוף מ- A הוא 3 מטר, וברגע t 4 s מרחק הגוף מ- A הוא 9 מטר. מכאן שמרחק 6 מטר מ- A מתקבל ברגע מסוים, שנסמן אותו ב- t6, הגדול מ- s והקטן מ-.4 s שטח הטרפז התחום על ידי העקומה וציר הזמן מ- t עד t6 שווה ל- 6 מטר. נרשום זאת: t + (t -) & t 3s 6 y mx+ n 76. א. קשר לינארי מיוצג אלגברית על ידי התבנית המתמטית: וגרפית על ידי קו ישר. יחס ישר מיוצג אלגברית על ידי y mx וגרפית על ידי קו ישר העובר בראשית. y y vt at + ב. התנועה היא נפילה חופשית, לכן: + y )א( a t $ y וגם v לכן: התבנית המתמטית של y כפונקציה של t היא תבנית של יחס ישר. ג. על-פי קשר )א( שיפוע הגרף שווה ל- /a. S m/s.8 - a & a. 5.7 m/s השיפוע : S v v + aty ד. בזריקה אנכית: v v + aty & Ty - a עבור המקרה שבו הגוף מגיע לשיא הגובה: כאשר בוחרים ציר y שכיוונו החיובי מצביע כלפי מעלה > Dy ו- < a. v T y1 על פני הארץ: - ( - 1) v T y על פני כוכב הלכת: - ( - 5.7) T y נחלק את שתי המשוואות האחרונות זו בזו: Ty 1 על פני הארץ הכדור מגיע לגובה גדול פי.57 מאשר על פני כוכב הלכת. 6

51 . 77 א. בקטעים B A, ו- C המעלית עולה כי המהירות חיובית. בקטעים F D, ו- E המעלית יורדת כי המהירות שלילית. בקטע G המעלית נייחת - המהירות אפס. ב. גרף תאוצה-זמן: a(m/s ) t(s) ג. הטבלה: t(s) y(m) ד. המעלית מגיעה לגובה מרבי של 11 מטר מעל הקרקע. הסבר: מרגע t עד רגע t 6 s המעלית עולה, לאחר מכן היא יורדת. לכן היא מגיעה לגובה המרבי ברגע t. 6 s נחשב את העתק מרגע t עד רגע. t 6 s העתק זה שווה לשטח הטרפז הכלוא בין העקומה לציר הזמן. D y 6+ 3 $ 9m השטח: מאחר והמעלית התחילה לעלות מנקודה ששיעורה, y m כלומר מטר מעל הקרקע, היא מגיעה לגובה מרבי של 11 מטר מעל הקרקע.. 78 א. )1( לשני הגופים יש לראשונה אותה מהירות ברגע. t 1 s ברגע זה ההעתק של גוף א הוא 1 מטר )שטח המשולש המתאים בגרף(, וזה של גוף ב הוא מטר )שטח המלבן המתאים בגרף(. מכאן שגוף ב מקדים את גוף א ב- 1 מטר. )( כדי למצוא את הדרך שגוף א עבר עד רגע t 4 s נחלק את תנועתו לשני חלקים: תנועה מרגע x D )על $ 3 675m בפרק זמן זה הגוף עבר העתק של: ; t עד רגע 3 t 1 פי שטח הטרפז הכלוא בין העקומה לבין ציר הזמן בפרק הזמן הנדון(. הקטע השני של התנועה הוא מ- t 3 s עד. t 4 s לשטח הכלוא בגרף צורה של טרפז אלא שהפעם בסיסיו הם אנכיים. D x m ההעתק בקטע תנועה זה, על פי חישוב השטח הוא: כלומר ההעתק הכולל של גוף א הוא 95 מטר. 63

52 ההעתק של גוף ב בפרק הזמן הנדון הוא שטח המלבן המתאים, והוא שווה ל- 8 מטר. כלומר גוף א מקדים את גוף ב ב- 15 מטר. )3( גוף א נעצר ברגע t. 6 s ההעתק שלו מרגע t עד רגע t 6 s שווה לשטח הטרפז: D x $ 3 1,15m העתקו של גוף ב באותו פרק זמן שווה לשטח המלבן המתאים, שערכו 1, מטר. מכאן שברגע t 6 s גוף ב מקדים את גוף א בשיעור של 75 מטר. D x1 ב. ברגע t 15 s גוף ב מקדים את גוף א. ברגע t 3 s העתקו של גוף א היה 675 m )ראה חלק ראשון של פתרון סעיף א )(( וזה של גוף ב היה 6 מטר. כלומר ברגע t 3 s גוף א מקדים. לכן הגופים עוברים לראשונה זה ליד זה ברגע t המקיים. 15 s > t > 3 s ברגע הפגישה, t, העתק גוף א שווה לשטח הטרפז המתאים: א Dx t (t 15) + - $ 3 (t- 15) 15 ב Dx t העתקו של גוף ב הוא שטח המלבן המתאים, כלומר: רגע המפגש הוא רגע שעבורו האגפים הימניים של משוואות )א( ו- )ב( שווים: הגופים עוברים זה ליד זה ברגע t..5s (t- 15) 15 t & t.5s )א( )ב( 79. א. את הדרך שהגוף עבר ב- 1 השניות אפשר לקבוע על פי חישוב שטח הטרפז באיור המופיע בגוף השאלה. השטח מייצג אמנם העתק, אך מהתבוננות בגרף אפשר לראות כי הגוף נע כל הזמן לאותו כיוון, וזהו הכיוון החיובי, לכן גודל ההעתק שווה לדרך, s. s $ 4 8m ב. גרף מקום-זמן של הגוף: x(m) חלק ראשון חלק שני חלק שלישי t(s) 64

53 את הגרף סרטטנו משלושה חלקים כך: פרק א חלק ראשון של הגרף: בפרק הזמן מ- t עד t 4 s גרף מהירות-זמן הוא לינארי. מכאן שתנועת הגוף בפרק זמן זה היא שוות-תאוצה. x x v t )א( 1 at + נוסחת מקום-זמן בתנועה שוות-תאוצה היא: + והגרף הוא פרבולה. בתרגיל הנוכחי x ו- v הם אפס; התאוצה, a, שווה לשיפוע העקומה שבגוף התרגיל, כלומר a 1 m/s )לכן פרבולה עם נקודת מינימום, כלומר פרבולה "מחייכת"(. נוסחת מקום-זמן x. על פי נוסחה זו סרטטנו בעזרת גיליון אלקטרוני, בגרף שלמעלה, 1 t בתרגיל הנוכחי היא: את עקומת מקום-זמן המתאימה לפרק זמן מ- t עד t. 4 s זהו חלק העקומה המסורטט בקו מקווקוו המורכב מקווים קצרים. חלק שני של הגרף: בפרק הזמן מ- t 4 s עד t 8 s גרף מהירות-זמן הוא ישר המקביל לציר הזמן. מכאן שהתנועה היא שוות מהירות. נוסחת מקום-זמן המתאימה לתנועה כזו היא: x x + v$ Dt בתרגיל הנוכחי x הוא מקום הגוף ברגע t, 4 s כלומר עבור חלק זה של התנועה x. 8 m רגע t עבור חלק זה של התנועה הוא 4 שניות, לכן נוסחת מקום זמן המתאימה לחלק זה של התנועה היא (4 - t)4+ x. 8 זהו חלק העקומה המסורטט על-ידי נקודות. חלק שלישי של הגרף: בפרק הזמן מ- t 8 s עד t 1 s גרף מהירות-זמן הוא לינארי. מכאן שתנועת הגוף בפרק זמן זה היא שוות-תאוצה. נוסחת מקום-זמן בתנועה שוות-תאוצה היא נוסחה )א( לעיל, והגרף הוא פרבולה. בתרגיל הנוכחי x הוא מקום הגוף ברגע t, 8 s כלומר עבור קטע זה של התנועה x. 4 m רגע t עבור חלק זה של התנועה הוא 8 שניות. המהירות ההתחלתית בקטע זה של התנועה היא המהירות ברגע t. 8s כלומר v. 4m/s התאוצה, a, שווה לשיפוע העקומה שבגוף התרגיל, כלומר a - m/s )לכן פרבולה עם נקודת מקסימום, כלומר פרבולה "עצובה"(. לכן נוסחת מקום זמן המתאימה לחלק זה של התנועה היא: x 4+ 4(t -8) -(t - 8) על פי נוסחה זו סרטטנו בגרף שלמעלה את עקומת מקום-זמן המתאימה לפרק זמן מ- t 8 s עד t. 1 s זהו חלק העקומה המסורטט בקו רציף.. 8 א. )1( על פי הגרף הנתון בגוף השאלה, בפרק הזמן מ- t עד t s מהירות הגוף קבועה, לכן התאוצה היא אפס. בפרט היא אפס ברגע t. 1.5 s )( + )3(: על פי הגרף שבגוף השאלה, בפרק הזמן מ- t s עד t 5 s העקומה היא לינארית, לכן התנועה היא שוות-תאוצה. את התאוצה נחשב על פי שיפוע הקו, למשל בעזרת הנקודות m/s) ),s 3 ו- (,s 5). תוצאת החישוב היא 1. m/s זו התאוצה בפרט בשני הרגעים 65.t 4.5 s ו- t 3 s ב. שטח הטרפז המורכב מהעקומה ומהצירים מייצג את ההעתק. כיוון שהתנועה מתנהלת באותו s 5+ $ 3 15m כיוון כל הזמן - גודל ההעתק שווה לדרך, : s

54 ג. הגוף השני נע בכל פרק הזמן בתנועה שוות תאוצה. נוסחת מקום-זמן לתנועה כזו: x x v t 1 at + + נציב בנוסחה זו את הערכים הידועים, ונקבל אחרי ההצבה: 15 + $ 5+ 1 a $ 5 & a 8. 4 m/s תאוצתו של הגוף השני היא 8.4 מטר לשנייה. 81. א. על פי הטבלה )וגם על פי האיורים( בשלושת מרווחי הזמן הראשונים העתקי המכונית שווים. מכאן שהחל מרגע t עד רגע t.75 s מהירות המכונית קבועה. זו המהירות המרבית של המכונית, כי אחר כך העתקי המכונית במרווחי הזמן הולכים וקטנים. v m/s 9km/h.75 - כיוון שהמהירות המרבית המותרת היתה רק 6, km/h הנהג עבר את המהירות המותרת לפני הפעלת הבלמים. ב. נחשב את ערך המהירות ברגע t.5 s כשווה בקירוב למהירות הממוצעת החל מרגע שלפני הרגע הנדון )רגע t(.5 s עד רגע שאחרי הרגע הנדון )רגע t(:.75 s v v s..5 s.75 s - " 14 m/s ג) 1 ( אפשר לראות בגרף די בבירור שהנקודות מרגע t.75 s )שבו המהירות היא 4.5( m/s עד רגע t s )שבו המהירות היא 19.5( m/s נמצאות בקירוב טוב מאוד לאורך קו ישר. מכאן שבפרק זה התנועה היא שוות-תאוצה. נחשב את התאוצה a1 על פי הגדרת התאוצה: a m/s הנקודות מרגע t.5 s )שבו המהירות היא 17( m/s עד רגע t 3 s )שבו המהירות היא 8( m/s נמצאות לאורך ישר אחר. מכאן שבפרק זה התנועה היא שוות-תאוצה. נחשב את a m/s התאוצה a על פי הגדרת התאוצה:.5-3 )( על פי הטבלה ברגע t.75 s המכונית היתה בנקודה שמרחקה מהראשית 18.75, m ונקודת ההתנגשות עם המשאית, היתה בנקודה שמרחקה מהראשית m עבור תנועת v v + adx המכונית בין שתי נקודות אלה נשתמש בנוסחה: v $ (-4) $ ( ) & v נציב ערכים: m/s. 57 km/h ד. כאשר הנהג ילחץ על הבלמים וינוע בתאוצת הבלימה המינימלית שתמנע התנגשות, הוא יגיע למשאית במהירות סופית. נשתמש בנוסחה הבאה עבור תנועת המכונית מרגע t.75 s עד לעצירה לפני המשאית: a( ) & a m/s v v + adx לכן 66

55 8. א. איור ב בגוף השאלה מייצג תנועה בין שני הקירות. כיוון שהרצפה חלקה, כל תנועה בין שני הקירות היא שוות מהירות, כך שהתנועה הלוך נעשית במהירות שווה בגודלה למהירות בתנועה חזרה, אך כיוונה מנוגד וזה מה שמוצג באיור ב שבגוף השאלה. ב. באיור א להלן מוצג מקומו של הכדור המנתר וכיוון תנועתו ברגע t. באיור ב להלן מוצג הכדור שנע על הרצפה וכיוון תנועתו ברגע t. v 1 m/s t v 1 m/s t איור א איור ב ג. על פי איור ב שבגוף השאלה, תנועת הכדור מקיר לקיר נמשכת חצי שנייה במהירות קבועה שגודלה 1 מטר לשנייה. מכאן שהמרחק בין הקירות הוא 5 מטר. ד. על פי איור א שבגוף השאלה, הכדור עולה מהקרקע במהירות התחלתית שגודלה 1 מטר/ v v עבור תנועת הכדור מהקרקע עד שיא הגובה, ביחס שנייה. נשתמש בנוסחה + ady לציר מקום y שכיוונו החיובי כלפי מעלה. נסמן את גובה העלייה באות h. 1 + $ (- 1) $ h בתנאים אלה: ומכאן: 5m h. הכדור מנתר, אם כן, לגובה מרבי בן 5 מטרים. שים לב: אותה תוצאה מתקבלת על פי שטח המשולש הכלוא בין הגרף לציר הזמן, מ- t ל-.t 1s ה. גרף מקום-זמן של הכדור המנתר מוצג באיור ג שלהלן. x(m) 5 x(m) t(s) t(s) איור ג איור ד גרף מקום-זמן של הכדור הנע הלוך ושוב על רצפה מוצג באיור ד שלעיל. 67